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SDOI2011计算器

2024-07-21 05:36:50   220人阅读

2242: [SDOI2011]计算器

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Description

你被要求设计一个计算器完成以下三项任务：
1、给定y,z,p,计算Y^Z Mod P 的值；
2、给定y,z,p，计算满足xy≡ Z ( mod P )的最小非负整数；
3、给定y,z,p，计算满足Y^x ≡ Z ( mod P)的最小非负整数。

Input

 输入包含多组数据。

第一行包含两个正整数T,K分别表示数据组数和询问类型（对于一个测试点内的所有数据，询问类型相同）。
以下行每行包含三个正整数y,z,p，描述一个询问。

Output

对于每个询问，输出一行答案。对于询问类型2和3，如果不存在满足条件的，则输出“Orz, I cannot find x!”，注意逗号与“I”之间有一个空格。

Sample Input

【样例输入1】
3 1
2 1 3
2 2 3
2 3 3
【样例输入2】
3 2
2 1 3
2 2 3
2 3 3
【数据规模和约定】
对于100%的数据，1<=y,z,p<=10^9，为质数，1<=T<=10。

Sample Output

【样例输出1】
2
1
2
【样例输出2】
2
1
0
题解：这一题考了几个基本的数论算法，1不用多说，2扩展欧几里得求逆元也不多说。
至于3吗，我做这题以前是不知道的，后来才明白这玩意叫做离散对数，查了资料学会了这个东西（我有多弱！！！）
求a^x=b(mod n) 的最小的x的算法（shank的大步小步算法）
令m为n^0.5
我们可以求出a^0,a^1,a^2...a^(m-1) mod n 的值，记为e0,e1,e2,em-1，用map将它们存下来（为了方便之后查询，对每个ei存下它对应的最小的下标i）
求出a^m模n的逆元v
那么如果a^(k*m+0),a^(k*m+1),a^(k*m+2)...a^(k*m+m-1)模m余b（k从0到m-1），等价于
a^0=b*(v^(k*m))(mod n)
a^1=b*(v^(k*m))(mod n)
...
a*(m-1)=b*(v^(k*m))(mod n)
这样我们只要枚举k，然后在map中查询b*(v^(k*m))是否存在，若存在，用它在map中对应的i得到答案k*m+i。
这样做的时间复杂度是O(n^0.5log(n))考虑到题目数据最多十组，应该不会超时。
 1 #include <iostream> 2 #include <cmath> 3 #include <map> 4 using namespace std; 5 typedef long long LL; 6 int T,k; 7 LL mul_mod(LL a,LL b,LL n){ 8     return a*b%n; 9 }10 LL pow_mod(LL a,LL p,LL n){11     if (p==0) return 1;12     LL ans=pow_mod(a,p/2,n);13     ans=ans*ans%n;14     if (p&1) ans=ans*a%n;15     return ans;16 }17 LL gcd(LL a,LL b){18     return (b==0)?a:(gcd(b,a%b));19 }20 void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){21     if (b==0) {x=1;y=0;return ;}22     else {exgcd(b,a%b,y,x);y=y-(a/b)*x;}23 }24 LL inv(LL a,LL n){25     LL x,y;26     exgcd(a,n,x,y);27     return (x+n)%n;28 }29 LL log_mod(LL a,LL b,LL n){30     LL m,v,e=1,i;31     m=((int)sqrt(n)) +1;32     if (gcd(a,n)!=1) return -1;33     v=inv(pow_mod(a,m,n),n);34     map <int,int> x;35     x[1]=0;36     for (i=1;i<m;i++){37         e=mul_mod(e,a,n);38         if (!x.count(e)) x[e]=i;39     }40     for (i=0;i<m;i++){41         if (x.count(b)) return i*m+x[b];42         b=mul_mod(b,v,n);43     }44     return -1;45 }46 int main(){47     cin>>T>>k;48     LL y,z,p,t;49     while (T--){50         cin>>y>>z>>p;51         switch (k) {52             case 1:53                 cout<<pow_mod(y,z,p)<<endl; break;54             case 2:{55                 LL g=gcd(y,p);56                 if (z%g!=0) cout<<"Orz, I cannot find x!"<<endl;57                     else {58                             y/=g;p/=g;z/=g;59                             cout<<mul_mod(inv(y,p),z%p,p)<<endl;60                     }61                 break;62             }63             case 3:if ((t=log_mod(y,z,p))==-1) cout<<"Orz, I cannot find x!"<<endl;64                 else cout<<t<<endl;65             break;66         }67     }68     return 0;69 }

 

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