一般情况下，一个因变量是和多个自变量有关的，比如一个商品的价格和原料价格、加工方法、上市时间、品牌价值等有关，也就是多元线性，本节介绍如何用scikit-learn解决多元线性回归问题。

1、多元线性回归模型

方程：Y=Xβ 

求解多元线性回归问题就是求解β：

因为X不一定是方阵，所以不能直接β=X-1Y

两边同时乘以Xt，得到XtY=XtXβ

因为XtX是方阵，它的逆是(XtX)-1，所以两边同时乘(XtX)-1得到

(XtX)-1XtY=β

根据这个公式，我们自己设计一个例子，验证一下

设计二元一次方程：y=1+2*x1+3*x2=1*x0+2*x1+3*x2

取样本为(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1)，计算得y=(6,9,8)

注意：这里面常数项1相当于1*x0，只不过这里的x0永远取1

所以我们的

X = [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,1]]

y = [[6],[9],[8]]

β =[1, 2, 3]^T;

代码如下:

1 from numpy.linalg import inv
2 from numpy import dot, transpose
3 X = [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,1]]
4 y = [[6], [9], [8]]
5 print dot(inv(dot(transpose(X),X)), dot(transpose(X),y))
6 print(dot(dot(inv(dot(transpose(X), X)), transpose(X)), y))

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1 [[ 1.]
2  [ 2.]
3  [ 3.]]
4 [[ 1.]
5  [ 2.]
6  [ 3.]]

这里面transpose是求转置，dot是求矩阵乘积，inv是求矩阵的逆。

也可以用numpy的最小二乘函数直接计算出β。

1 from numpy.linalg import lstsq
2 print lstsq(X, y)[0]

1 [[ 1.]
2  [ 2.]
3  [ 3.]]

2、用scikit-learn求解多元线性回归

 1 import numpy
 2 from sklearn.linear_model import LinearRegression
 3 X = [[1, 1, 1], [1, 1, 2], [1, 2, 1]]
 4 y = [[6], [9], [8]]
 5 model = LinearRegression()
 6 model.fit(X, y)#训练模型
 7 x2 = [[1, 3, 5]]
 8 y2 = model.predict(x2)
 9 print(type(y2), y2.shape)
10 print(y2[0])

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结果：

1 (<type ‘numpy.ndarray‘>, (1, 1))
2 [ 22.]

 正好：刚好y=1+2*x1+3*x2=1+2*3+3*5=22 

多元线性回归