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[BZOJ2815][ZJOI2012]灾难
[BZOJ2815][ZJOI2012]灾难
试题描述
阿米巴是小强的好朋友。
阿米巴和小强在草原上捉蚂蚱。小强突然想,如果蚂蚱被他们捉灭绝了,那
么吃蚂蚱的小鸟就会饿死,而捕食小鸟的猛禽也会跟着灭绝,从而引发一系列的
生态灾难。
学过生物的阿米巴告诉小强,草原是一个极其稳定的生态系统。如果蚂蚱灭
绝了,小鸟照样可以吃别的虫子,所以一个物种的灭绝并不一定会引发重大的灾
难。
我们现在从专业一点的角度来看这个问题。我们用一种叫做食物网的有向图
来描述生物之间的关系:
一个食物网有 N个点,代表 N 种生物,如果生物 x 可以吃生物 y,那么从 y
向 x 连一个有向边。
这个图没有环。
图中有一些点没有连出边,这些点代表的生物都是生产者,可以通过光合作
用来生存; 而有连出边的点代表的都是消费者,它们必须通过吃其他生物来生
存。
如果某个消费者的所有食物都灭绝了,它会跟着灭绝。
我们定义一个生物在食物网中的“灾难值”为,如果它突然灭绝,那么会跟
着一起灭绝的生物的种数。
举个例子:在一个草场上,生物之间的关系是:
如果小强和阿米巴把草原上所有的羊都给吓死了,那么狼会因为没有食物而
灭绝,而小强和阿米巴可以通过吃牛、牛可以通过吃草来生存下去。所以,羊的
灾难值是 1。但是,如果草突然灭绝,那么整个草原上的 5 种生物都无法幸免,
所以,草的灾难值是 4。
给定一个食物网,你要求出每个生物的灾难值。
阿米巴和小强在草原上捉蚂蚱。小强突然想,如果蚂蚱被他们捉灭绝了,那
么吃蚂蚱的小鸟就会饿死,而捕食小鸟的猛禽也会跟着灭绝,从而引发一系列的
生态灾难。
学过生物的阿米巴告诉小强,草原是一个极其稳定的生态系统。如果蚂蚱灭
绝了,小鸟照样可以吃别的虫子,所以一个物种的灭绝并不一定会引发重大的灾
难。
我们现在从专业一点的角度来看这个问题。我们用一种叫做食物网的有向图
来描述生物之间的关系:
一个食物网有 N个点,代表 N 种生物,如果生物 x 可以吃生物 y,那么从 y
向 x 连一个有向边。
这个图没有环。
图中有一些点没有连出边,这些点代表的生物都是生产者,可以通过光合作
用来生存; 而有连出边的点代表的都是消费者,它们必须通过吃其他生物来生
存。
如果某个消费者的所有食物都灭绝了,它会跟着灭绝。
我们定义一个生物在食物网中的“灾难值”为,如果它突然灭绝,那么会跟
着一起灭绝的生物的种数。
举个例子:在一个草场上,生物之间的关系是:
如果小强和阿米巴把草原上所有的羊都给吓死了,那么狼会因为没有食物而
灭绝,而小强和阿米巴可以通过吃牛、牛可以通过吃草来生存下去。所以,羊的
灾难值是 1。但是,如果草突然灭绝,那么整个草原上的 5 种生物都无法幸免,
所以,草的灾难值是 4。
给定一个食物网,你要求出每个生物的灾难值。
输入
第一行是一个正整数 N,表示生物的种数。生物从 1 标
号到 N。
接下来 N 行,每行描述了一个生物可以吃的其他生物的列表,格式为用空
格隔开的若干个数字,每个数字表示一种生物的标号,最后一个数字是 0 表示列
表的结束。
号到 N。
接下来 N 行,每行描述了一个生物可以吃的其他生物的列表,格式为用空
格隔开的若干个数字,每个数字表示一种生物的标号,最后一个数字是 0 表示列
表的结束。
输出
包含N行,每行一个整数,表示每个生物的灾难值。
输入示例
5 0 1 0 1 0 2 3 0 2 0
输出示例
4 1 0 0 0
数据规模及约定
对 50%的数据,N ≤ 10000。
对 100%的数据,1 ≤ N ≤ 65534。
输入文件的大小不超过 1M。保证输入的食物网没有环。
题解
对于一个 DAG 构建支配树。
口胡一下什么是支配树。。。
首先给 DAG 规定一个源点 S(如果有多个入度为 0 的点,自己建立一个),支配树就是一棵树,满足任意一个节点 x 的祖先节点是原图中 S 到 x 路径上的必经节点。
那么构造这个支配树的关键在于找到对于路径 S -> x 中必经节点中离 x 最近的那个节点 v,在支配树上 v 就是 x 的父亲。
构造方法就是我们按拓扑序构建这棵树,考虑拓扑序第 i 位对应节点 u,那么拓扑序前 i-1 位的节点一定都放到了支配树里面,并且所有指向 u 的边的起点都在那前 i-1 个节点中,我们找到所有指向 u 的边的起点,求出它们在这棵已有树上的 lca,那么这个 lca 就是 u 的父亲。
注意到我们每次只是添加一个叶子,所以不需要什么高级的数据结构,我们可以直接用倍增 lca 的办法进行维护,添加了节点 u 之后,直接更新 u 的 2x 级祖先就好了。
构造完支配树,我们处理出每个节点所在子树大小,减 1 后输出就好了。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cctype> #include <algorithm> using namespace std; int read() { int x = 0, f = 1; char c = getchar(); while(!isdigit(c)){ if(c == ‘-‘) f = -1; c = getchar(); } while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - ‘0‘; c = getchar(); } return x * f; } #define maxn 65540 #define maxm 3000010 #define maxlog 16 int n, m, head[maxn], nxt[maxm], to[maxm], reM, reH[maxn], reN[maxm], reT[maxm]; void AddEdge(int a, int b) { to[++m] = b; nxt[m] = head[a]; head[a] = m; swap(a, b); reT[++reM] = b; reN[reM] = reH[a]; reH[a] = reM; return ; } int ind[maxn], Q[maxn], hd, tl; struct Tree { int rt, fa[maxn][maxlog], dep[maxn], siz[maxn]; int m, head[maxn], nxt[maxm], to[maxm]; void init(int _rt) { rt = _rt; memset(dep, 0, sizeof(dep)); memset(fa, 0, sizeof(fa)); return ; } int lca(int a, int b) { if(dep[a] < dep[b]) swap(a, b); for(int i = maxlog - 1; i >= 0; i--) if(dep[a] - (1 << i) >= dep[b]) a = fa[a][i]; for(int i = maxlog - 1; i >= 0; i--) if(fa[a][i] != fa[b][i]) a = fa[a][i], b = fa[b][i]; return a == b ? a : fa[b][0]; } void AddEdge(int a, int b) { to[++m] = b; nxt[m] = head[a]; head[a] = m; swap(a, b); to[++m] = b; nxt[m] = head[a]; head[a] = m; return ; } void add(int u, int pa) { AddEdge(u, pa); dep[u] = dep[pa] + 1; fa[u][0] = pa; for(int i = 1; i < maxlog; i++) fa[u][i] = fa[fa[u][i-1]][i-1]; return ; } void dfs(int u) { siz[u] = 1; for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) if(to[e] != fa[u][0]) dfs(to[e]), siz[u] += siz[to[e]]; return ; } void build() { return dfs(rt); } } sol; int main() { n = read(); for(int i = 1; i <= n; i++) { int x = read(); while(x) { AddEdge(x, i); ind[i]++; x = read(); } } for(int i = 1; i <= n; i++) if(!ind[i]) AddEdge(n + 1, i), ind[i]++; n++; /*for(int u = 1; u <= n; u++) { printf("%d to\n", u); for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) printf("%d ", to[e]); putchar(‘\n‘); } // */ Q[++tl] = n; while(hd < tl) { int u = Q[++hd]; for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) if(!--ind[to[e]]) Q[++tl] = to[e]; } sol.init(n); for(int i = 2; i <= tl; i++) { int u = Q[i], v = 0; for(int e = reH[u]; e; e = reN[e]) if(v) v = sol.lca(v, reT[e]); else v = reT[e]; sol.add(u, v); // printf("add to tree: %d %d\n", u, v); } sol.build(); for(int i = 1; i < n; i++) printf("%d\n", sol.siz[i] - 1); return 0; }
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