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bzoj 1096: [ZJOI2007]仓库建设

2024-07-03 17:48:01   225人阅读

  dp是很好想的了，关键是数据太大，普通dp肯定超时，所以一定有用某种优化，dp优化也就那么几种，这道题用的是斜率优化，先写出普通的状态转移方程： dp[i] = min{  dp[j] + Σ ( p[k] * (x[i] - x[k] ) ) ,  j+1 <=k <= i ,  0 <= j <= i-1}

这个式子应该是很好理解的。接下来，就要进行优化。dp[j] 无法改变， 所以只好放眼于第二项， 即sigma那一项

Σ ( p[k] * (x[i] - x[k] ) = Σ (p[k] * x[i] - p[k] * x[k]) = p[ j+1 ~ i] * x[i] - p[ j+1~i] * x[ j+1 ~i]

我们发现，这个式子中，x[i] 为当前点的量，而p[j+1 ~i] 和 p[j+1 ~i] * x[j+1 ~i] 很容易预处理得到。

于是，我们把 a[i] 定义为 到 i 为止所有货物的个数 即 sum( p[1~i] ) ； 把b[i] 定义为到 i 为止 所有 p[j] * x[j] 之和

即 sum( p[ j+1~i] * x[ j+1 ~i] ) ；

我们有了这两个预处理，就可以转化成斜率优化来做了，一开始的式子，我们转化为

dp[i] = min { dp[j] + x[i] * (a[i] - a[j]) - (b[i] - b[j]) }

剩下的就是斜率优化的内容了，这里不再赘述，注意一点，a[i] - a[j] 是负数 除过去要变号。

代码如下

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define N 1000100
using namespace std;
 
int n;
deque<int> q;
deque<int>::iterator x, y;
long long a[N]={0}, b[N]={0};
long long f[N], dis[N], c[N];
 
long long getup(int j, int k) { return f[j] - f[k] + b[j] - b[k]; }
long long getdown(int j, int k) { return a[j] - a[k]; }
long long getans(int j, int now) { return f[j] + (a[now] - a[j]) * dis[now] -b[now] + b[j] +c[now]; }
bool ketan(int j, int k, int now) { return getup(j, k) < dis[now] * getdown(j, k); }
bool keya(int i, int j, int k) { return getup(i, j) * getdown (j, k) > getup(j, k) * getdown(i, j); }
 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        long long z;
        scanf("%lld%lld%lld", &dis[i], &z, &c[i]);
        a[i] = a[i-1] + z; b[i] = b[i-1] + z*dis[i];
    }
    f[0] = 0; q.push_front(0);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        while (q.size() > 1)
        {
            x = q.begin(); y = x; y++;
            if (!ketan(*y, *x, i)) break;
            q.pop_front();
        }
        x = q.begin();
        f[i] = getans(*x, i);
        while (q.size() > 1)
        {
            x = q.end(); x--; y = x; y--;
            if (!keya(*y, *x, i)) break;
            q.pop_back();
        }
        q.push_back(i);
    }
    printf("%lld\n", f[n]);
}

 


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