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斜率优化专题5——bzoj 1096 [ZJOI2007]仓库建设 题解

2024-07-03 03:47:50   223人阅读

【原题】

1096: [ZJOI2007]仓库建设

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 1998  Solved: 816
[Submit][Status]

Description

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据： 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;  工厂i目前已有成品数量Pi;  在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。【数据规模】对于20%的数据， N ≤500；对于40%的数据， N ≤10000；对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。


【分析与解法】总结一下我的最近的斜率优化题目的通解。

首先声明一下，我不会证明斜率优化的正确性，大概打表或是看数据范围就知道了。

第一步：推出n^2的方程，一般是一维方程，而且通用格式是：f[i]=min/max(f[j]+G)

f[i]=min(f[j]+sum[i]-sum[j]-G[j]*(a[i].x-a[j].x)+a[i].c);

第二步：假设j<k，且k比j要优。把刚才的方程写成f[k]+G1<f[j]+G2的形式。

f[k]+sum[i]-sum[k]-G[k]*(a[i].x-a[k].x)+a[i].c<f[j]+sum[i]-sum[j]-G[j]*(a[i].x-a[j].x)+a[i].c

第三步：然后把有关k、j的项移到左边，把有关i的项移到右边。有时两边要同除一个数使得右边只剩下与i有关的成分。

抵消f[k]-sum[k]-G[k]*(a[i].x-a[k].x)<f[j]-sum[j]-G[j]*(a[i].x-a[j].x)
化简f[k]-f[j]+sum[j]-sum[k]+G[k]*a[k].x-G[j]*a[j].x<a[i].x*(G[k]-G[j])
除去(f[k]-f[j]+sum[j]-sum[k]+G[k]*a[k].x-G[j]*a[j].x)/(G[k]-G[j])<a[i].x

现在，就已经推出了斜率，再套用单调队列即可。

【代码】

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 1000005
using namespace std;
typedef long long ll;
struct arr{ll x,p,c;}a[N];
ll sum[N],G[N],f[N],q[N],n,i,j,h,t;
bool cmp(arr a,arr b){return a.x<b.x;};
double xie(long long k,long long j)
{
  double temp=(f[k]-f[j]+sum[j]-sum[k]+G[k]*a[k].x*1.0-G[j]*a[j].x)/(G[k]-G[j]);
  return temp;
}
int main()
{
  scanf("%lld",&n);
  for (i=1;i<=n;i++)
    scanf("%lld%lld%lld",&a[i].x,&a[i].p,&a[i].c);
  sort(a+1,a+n+1,cmp);
  for (i=1;i<=n;i++)
    sum[i]=sum[i-1]+G[i-1]*(a[i].x-a[i-1].x),G[i]=G[i-1]+a[i].p;
  for (i=1;i<=n;i++) 
  {
	while (h<t&&xie(q[h+1],q[h])<a[i].x) h++;
	f[i]=f[q[h]]+sum[i]-sum[q[h]]-G[q[h]]*(a[i].x-a[q[h]].x)+a[i].c;
	while (h<t&&xie(q[t],q[t-1])>xie(i,q[t])) t--;
	q[++t]=i;
  }
  printf("%lld",f[n]);
  return 0;
}


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