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[BZOJ 1096][ZJOI2007]仓库建设
Description
L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据： 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）; 工厂i目前已有成品数量Pi; 在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。
Input
第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。
Output
仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。
Sample Input
0 5 10
5 3 100
9 6 10
Sample Output
HINT
在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。【数据规模】对于20%的数据， N ≤500；对于40%的数据， N ≤10000；对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。
Source
裸DP很水。。。但是O(n^2)承受不起这么大的范围，一定TLE，只能采取小于O(n)的斜率优化DP，具体就是维护一个双向队列，使得队列内的点形成下凸的函数图像，这样就能舍掉很多不必继续循环DP的非最优解，具体可以参考JSOI集训队论文《单调性优化在动态规划中的应用》
下面是我花了将近半个小时，按照上面的论文推出来的：
推完以后就可以做了，每次舍掉队首一定不是最优解的元素，维护队列中的斜率单调递增(清除斜率单调递减的部分)后再添加新的f[i],i∈[1,n]
#include <stdio.h>#define MAXN 1000500long long int f[MAXN],x[MAXN],c[MAXN],sum[MAXN],sump[MAXN],p[MAXN],q[MAXN]; //f[i]=在第i个工厂修仓库时的所有最少总费用//f[i]=min{f[j]+w[i,j]+c[i]},c[i]=第i个工厂修仓库的费用，w[i,j]=把i到j的货物运到j的费用//sum[i]=前i个工厂距离和//q[]数组用于模拟队列long long int getF(int i,int j) //求f[j]+w[i,j]{ return f[i]+sum[i]-f[j]-sum[j];}int main(){ int i,j,n; //输入 scanf("%d",&n); for(i=1;i<=n;i++) { scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&p[i],&c[i]); sum[i]=sum[i-1]+x[i]*p[i]; sump[i]=sump[i-1]+p[i]; } int h=0,t=1; for(i=1;i<=n;i++) { //DP斜率优化，维护下凸函数 //f[j]+sum[j]-f[i]-sum[i] //-----------------------<x[i],i>j,证明i状态比j状态更好 // sump[j]-sump[i] //队首部分只需从最优的状态开始就行，队尾部分要舍掉不单调递增的部分后再入队 while(h<t&&getF(q[h+1],q[h])<x[i]*(sump[q[h+1]]-sump[q[h]])) h++; f[i]=f[q[h]]+sum[q[h]]-x[i]*sump[q[h]]+x[i]*sump[i]-sum[i]+c[i]; while(h<t&&getF(q[t],i)*(sump[q[t-1]]-sump[q[t]])<=getF(q[t-1],q[t])*(sump[q[t]]-sump[i])) t--; //队尾斜率比前面元素小的出队 q[++t]=i; //新的入队 } printf("%lld\n",f[n]); return 0;}