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【BZOJ 1096】 [ZJOI2007]仓库建设 （斜率优化）
1096: [ZJOI2007]仓库建设
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L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。Input
第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。
Output
仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。
Sample Input
3
0 5 10
5 3 100
9 6 10Sample Output
32HINT
在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。
【数据规模】
对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。
【分析】
截距式的斜率优化虽然好想，但是真的推导过程总是各种错TAT
for i 1~n
f[i]=f[j]+p[k]*(x[k]-x[j]) +c[i](i<k<=j) [f(i)表示在i处建站，枚举上一个建站位置j
设s1[i]=sigma(p[1~i]) s2[i]=sigma(-p[1~i]*x[1~i])
得 f[i]=-s1[i]*x[j]+ s1[j]*x[j]+s2[j]+f[j] - s2[i]+x[i]
斜率s1[i]单调递减，维护一个下凸包即可。
代码如下：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstdlib> 3 #include<cstring> 4 #include<iostream> 5 #include<algorithm> 6 #include<queue> 7 #include<cmath> 8 using namespace std; 9 #define Maxn 100001010 #define LL long long11 12 // LL x[Maxn],p[Maxn],c[Maxn];13 LL s1[Maxn],s2[Maxn],f[Maxn];14 15 struct hp16 {17 LL x,p,c;18 }d[Maxn];19 20 struct node21 {22 LL x,y;23 }t[Maxn];LL cnt;24 LL n;25 26 bool cmp(hp x,hp y) {return x.x<y.x;}27 LL mymin(LL x,LL y) {return x<y?x:y;}28 29 void init()30 {31 scanf("%lld",&n);32 for(LL i=1;i<=n;i++)33 {34 scanf("%lld%lld%lld",&d[i].x,&d[i].p,&d[i].c);35 }36 // sort(d+1,d+1+n,cmp);37 s2[0]=0;s1[0]=0;38 for(LL i=1;i<=n;i++)39 {40 s1[i]=s1[i-1]+d[i].p;41 s2[i]=s2[i-1]-d[i].p*d[i].x;42 }43 }44 45 bool check(LL x,LL y,LL k)46 {47 return (t[y].y-t[x].y)<=k*(t[y].x-t[x].x);48 }49 50 bool check2(LL x,LL y,LL z)51 {52 return (t[x].y-t[z].y)*(t[x].x-t[y].x)<=(t[x].x-t[z].x)*(t[x].y-t[y].y);53 }54 55 void ffind()56 {57 LL cnt=0,st;58 f[n]=d[n].c;59 t[++cnt].x=d[n].x;t[cnt].y=s1[n]*d[n].x+s2[n]+f[n];st=1;60 LL ans=t[1].y;61 for(LL i=n-1;i>=1;i--)62 {63 while(st<cnt&&check(st,st+1,s1[i])) st++;64 f[i]=-s1[i]*t[st].x+t[st].y-s2[i]+d[i].c;65 //-s1[i]*x[j]+ s1[j]*x[j]+s2[j] - s2[i]66 t[0].x=d[i].x;t[0].y=s1[i]*d[i].x+s2[i]+f[i];67 while(st<cnt&&check2(cnt,cnt-1,0)) cnt--;68 t[++cnt]=t[0];69 ans=mymin(ans,t[cnt].y);70 }71 printf("%lld\n",ans);72 }73 74 int main()75 {76 init();77 ffind();78 return 0;79 }
2016-09-18 13:17:39
【BZOJ 1096】 [ZJOI2007]仓库建设 （斜率优化）