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bzoj 1096: [ZJOI2007]仓库建设 斜率優化
1096: [ZJOI2007]仓库建设
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Description
L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：? 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）; ? 工厂i目前已有成品数量Pi; ? 在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。
Input
第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。
Output
仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。
Sample Input
0 5 10
5 3 100
9 6 10
Sample Output
HINT
在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。
【数据规模】
对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。
斜率優化的模式爲：dp[i]=min(a[j]*b[i]+c[j])+d[i]
符合本題的要求，下面爲dp方程的轉化過程：
//設sum[i]=dis[i]*p[i] + dis[i-1]*p[i-1] + ... +dis[1]*p[1]
//psum[i]=p[i] + p[i-1] + ... +p[1]
//
//f[i]=f[j] + segma(dis[i]-dis[k])*p[k] + cost[i]; //j<i j<k<i
//f[i]=f[j] - (sum[i-1]-sum[j]) + dis[i]*(psum[i-1]-psum[j]) + cost[i];
//
//f[i]=-psum[j]*dis[i] + f[j]+sum[j] -sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]+cost[i]
//
//令dp[i]=f[i] a[j]=-psum[j] b[i]=dis[i] c[j]=f[j]+sum[j] d[i]=-sum[i-1] +dis[i]*psum[i-1] + cost[i]
//dp[i]=a[j]*b[i] +c[j] + d[i]
//a[j]*b[i] +dp[i]-d[i] == c[j]
//令a[j]=psum[j]=x,
// c[j]=f[j]+sum[j]=y
//x*b[i] + dp[i]-d[i] == y
//x*dis[i] + dp[i]-(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]+cost[i])
//最小化dp[i]->下凸包二分
這個推導過程十分複雜，正負號也容易出錯，一個解決辦法是變裸的dp與之對拍。
要注意的一點是DP除非有嚴格的證明，否則不能夠隨意捨去狀態，這道題我曾自作主張地捨去了p=0的所有狀態，導致程序出了問題。
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<ctime>#include<cmath>#include<algorithm>#include<set>#include<map>#include<vector>#include<string>#include<queue>using namespace std;#ifdef WIN32#define LL "%I64d"#else#define LL "%lld"#endif#define MAXN 1100000#define MAXV MAXN*2#define MAXE MAXV*2#define INF 0x3f3f3f3f#define INFL 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLLtypedef long long qword;//設sum[i]=dis[i]*p[i] + dis[i-1]*p[i-1] + ... +dis[1]*p[1]//psum[i]=p[i] + p[i-1] + ... +p[1]////f[i]=f[j] + segma(dis[i]-dis[k])*p[k] + cost[i]; //j<i j<k<i//f[i]=f[j] - (sum[i-1]-sum[j]) + dis[i]*(psum[i-1]-psum[j]) + cost[i];////f[i]=-psum[j]*dis[i] + f[j]+sum[j] -sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]+cost[i]////令dp[i]=f[i] a[j]=-psum[j] b[i]=dis[i] c[j]=f[j]+sum[j] d[i]=-sum[i-1] +dis[i]*psum[i-1] + cost[i]//dp[i]=a[j]*b[i] +c[j] + d[i]//a[j]*b[i] +dp[i]-d[i] == c[j]//令a[j]=psum[j]=x,// c[j]=f[j]+sum[j]=y//x*b[i] + dp[i]-d[i] == y//x*dis[i] + dp[i]-(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]+cost[i])//最小化dp[i]->下凸包二分inline int nextInt(){ char ch; int x=0; bool flag=false; do ch=getchar(),flag=(ch==‘-‘)?true:flag; while(ch<‘0‘||ch>‘9‘); do x=x*10+ch-‘0‘; while (ch=getchar(),ch<=‘9‘ && ch>=‘0‘); return x*(flag?-1:1);}struct point{ qword x,y;}seq[MAXN];int tops=-1;qword xmul(point p1,point p2,point p3){ return (p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y) - (p2.y-p1.y)*(p3.x-p1.x);}double get_v(point p1,point p2){ return (double)(p2.y-p1.y)/(p2.x-p1.x);}qword dis[MAXN],cost[MAXN],p[MAXN];qword psum[MAXN],sum[MAXN];qword f[MAXN];int n;void work3(){ int i,j; int l,r,mid; memset(f,0x3f,sizeof(f)); f[0]=0; seq[0].x=psum[0]; seq[0].y=f[0]+sum[0]; tops=0; point pt; for (i=1;i<=n;i++) { l=-1,r=tops; while (l+1<r) { mid=(l+r)>>1; if (get_v(seq[mid],seq[mid+1])>dis[i]) { r=mid; }else { l=mid; } } //x*dis[i] + dp[i]-(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1])+cost[i]=y //dp[i]=y-x*dis[i]+(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1])-cost[i] // //dp[i]=f[j]+sum[j]-psum[j]*dis[i]+(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]-cost[i]) f[i]=seq[r].y-seq[r].x*dis[i]+(-sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1])+cost[i]; pt.x=psum[i]; pt.y=f[i]+sum[i]; while (tops>0 && xmul(seq[tops-1],seq[tops],pt)<=0)tops--; seq[++tops]=pt; } //for (i=0;i<=n;i++) //3 cout<<f[i]<<endl; cout<<f[n]<<endl;}void work1(){ int i,j,k; memset(f,0x3f,sizeof(f)); f[0]=0; qword t; for (i=1;i<=n;i++) { for (j=0;j<i;j++) { t=0; for (k=j+1;k<i;k++) { t+=(dis[i]-dis[k])*p[k]; } f[i]=min(f[i],f[j]+t+cost[i]); } }// for (i=0;i<=n;i++)// cout<<f[i]<<endl; cout<<f[n]<<endl;}void work2(){ int i,j,k; memset(f,0x3f,sizeof(f)); f[0]=0; for (i=1;i<=n;i++) { for (j=0;j<i;j++) { f[i]=min(f[i],-psum[j]*dis[i]+f[j]+sum[j] -sum[i-1]+dis[i]*psum[i-1]+cost[i]); } } //for (i=0;i<=n;i++) // cout<<f[i]<<endl; cout<<f[n]<<endl;}int main(){ freopen("input.txt","r",stdin); //freopen("output.txt","w",stdout); int i,j,k; int x,y,z; scanf("%d",&n); for (i=1;i<=n;i++) { dis[i]=nextInt(); p[i]=nextInt(); cost[i]=nextInt(); // if (!p[i]) // { // i--;n--; // } } for (i=1;i<=n;i++) { psum[i]=psum[i-1]+p[i]; sum[i]=sum[i-1]+p[i]*dis[i]; } //work1(); //work2(); work3(); return 0;}
bzoj 1096: [ZJOI2007]仓库建设 斜率優化