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[NOIP2006] 提高组 洛谷P1066 2^k进制数
题目描述
设r是个2^k 进制数,并满足以下条件:
(1)r至少是个2位的2^k 进制数。
(2)作为2^k 进制数,除最后一位外,r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。
(3)将r转换为2进制数q后,则q的总位数不超过w。
在这里,正整数k(1≤k≤9)和w(k<W< span>≤30000)是事先给定的。
问:满足上述条件的不同的r共有多少个?
我们再从另一角度作些解释:设S是长度为w 的01字符串(即字符串S由w个“0”或“1”组成),S对应于上述条件(3)中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段,每段对应一位2^k进制的数,如果S至少可分成2段,则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2^k 进制数r。
例:设k=3,w=7。则r是个八进制数(23=8)。由于w=7,长度为7的01字符串按3位一段分,可分为3段(即1,3,3,左边第一段只有一个二进制位),则满足条件的八进制数有:
2位数:高位为1:6个(即12,13,14,15,16,17),高位为2:5个,…,高位为6:1个(即67)。共6+5+…+1=21个。
3位数:高位只能是1,第2位为2:5个(即123,124,125,126,127),第2位为3:4个,…,第2位为6:1个(即167)。共5+4+…+1=15个。
所以,满足要求的r共有36个。
输入输出格式
输入格式:
输入只有1行,为两个正整数,用一个空格隔开:
k W
输出格式:
输出为1行,是一个正整数,为所求的计算结果,即满足条件的不同的r的个数(用十进制数表示),要求最高位不得为0,各数字之间不得插入数字以外的其他字符(例如空格、换行符、逗号等)。
(提示:作为结果的正整数可能很大,但不会超过200位)
输入输出样例
3 7
36
说明
NOIP 2006 提高组 第四题
数学统计
显然2^k进制数可以转化成二进制数分析。
比如8位的二进制数 00000000,如果要组成2^3进制,需要每3个数划分成一段: 00|000|000
000三位可能会有2^3-1种可能(1~7)
如果每段长度都相等,由于每段可能组成的数相同,而实际组成的几个数各不相同,所以总方案数可以用组合数计算:c[2^k-1][n] (共有n段)
而如果第一段长度与后面的不等,需要单独考虑: c[2^k-(首段选择的数字i)][w/k] 1<=i<2^(首段二进制位数) && 2^k-i>w/k ←需要给后面的数留出位置
1 /*By SilverN*/ 2 #include<iostream> 3 #include<cstdio> 4 #include<cmath> 5 #include<cstring> 6 #include<algorithm> 7 using namespace std; 8 int read(){ 9 int x=0,f=1;char ch=getchar();10 while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}11 while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}12 return x*f;13 }14 struct num{15 short int len;16 int a[45];17 }c[400][400];18 int n,k;19 num c1,ans;20 num gadd(num a,num b){21 memset(c1.a,0,sizeof c1.a);22 c1.len=max(a.len,b.len);23 for(int i=1;i<=c1.len;++i){24 c1.a[i]+=a.a[i]+b.a[i];25 c1.a[i+1]+=c1.a[i]/10000;26 c1.a[i]%=10000;27 }28 if(c1.a[c1.len+1]) c1.len++;29 return c1;30 }31 void Print(){32 printf("%d",ans.a[ans.len]);33 for(int i=ans.len-1;i>0;--i){ 34 printf("%d",ans.a[i]/1000);35 printf("%d",ans.a[i]/100%10);36 printf("%d",ans.a[i]/10%10);37 printf("%d",ans.a[i]%10);38 }39 printf("\n");40 }41 int main(){42 k=read();n=read();43 int hk=1<<(n%k);44 int tk=1<<k;45 int i,j;46 for(i=0;i<=tk;++i){47 for(j=0;j<=i;++j){48 if(!j || !i){c[i][j].len=1;c[i][j].a[1]=1;}49 else c[i][j]=gadd(c[i-1][j],c[i-1][j-1]);50 }51 }52 ans.len=1;53 for(i=2;i<=n/k && i<tk;++i)ans=gadd(ans,c[tk-1][i]);54 for(i=1;i<hk && n/k+i<tk;++i) ans=gadd(ans,c[tk-i-1][n/k]);55 Print();56 return 0;57 }
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