本节课主要讲在机器学习中，机器如何做到举一反三。

上图可以得出结论，当N超过k的时候，m_H的数量会越来越少。对未来成长函数的样子加了一个限制。

m_H的数量其实是有一个上限的，这个上限就是关于N的一个多项式。引出定义bonding function B(N,k)

已知上限函数的break point是在k，求这个函数的上限到底是多少。并且，我们不用去管这个函数是什么样子，只需要关注K和N就好了。

bounding function计算表：

bounding function的几个性质：

1. B(N,1)=1

2. B(N,k)=2^N for N>k

3. B(N,k)=2^N–1 for N=k

下面要做的就是接触上图中空白的部分，以B(4,3)为例：通过计算得出B(4,3)=11，又可以归纳成（以x4为基准看单双对）2α+β=2N+k

由于任意三个点不能shatter，得出结论α+β≤B(3,3);

在单独的α中，任意两个点不能shatter，得出结论α≤B(3,2);

由此可以得出：

把这个拓展到N和k的情况下：

我们可以得出这个bounding function的上限，也就是这个上限函数的上限是（也就是之前讲过的成长函数的上限也被确定了）：

所以可以得出结论：如果k存在的话，B(N,k)的上限确实是一个关于N的多项式。最大值是N^k–1。

有时候我们写不出m_H，但是我们可以写出bounding function。

再次返回霍夫丁不等式，我们可以通过一系列数学证明得到如下结果：

证明的过程不重要，但是证明的技巧在后面可能会被用到：

Ein是有限的，但是Eout确实无限的，如果我们假设又从population中取了另一批sample，通过学习这一批sample得出了另一个E_in`，而这个E<sub>in</sub>`应该和population中的E_out发生BAD事件的概率是相同的，所以，两批sample发生BAD事件也是相同的，E_out于是从无限就可以替换为有限个了。

把hypothesis set分类：由于上一步从population中取了另一批的sample，所以N应该由2N来替代。

采用无放回抽样(Hoeffding without Replacement)，得到的结果也是一样的。

最后得出结果（发生BAD事件的概率）：

总结：

机器学习基石(6)--Theory of Generalization