本节课重要讲述非线性的问题怎么样才能变成线性的分类问题。

到目前为止，我们会用模型进行线性的分类（左图），但是遇到右图的样子的时候，还是不能用一条线将它们分开。

但是右图视觉上，明显是可以用一个圆来进行分类的，假设一个半径为0.6的圆：

将上面的方程式进行展开和赋值，通过转换，再一次把圆形的方程式换成了一个线性的方程式，只不过多了一个新的变量z：

虽然(x,y)不是线性可分的，但是(z,y)却是线性可分的。z和y组成了一个完全不同于x和y构成的空间，在z-y空间中，是线性可分的。（把每一个x-y空间中的点，转换到z-y中间中去，在这个例子中，x中的每一个点通过取平方转换到了z的空间）这个转换的过程叫做feature transform Φ。

那么如果能在z空间线性可分，反过来能不能在x空间圆形可分呢？

先将公式转换，再代入例子验证：

z空间的点返回x空间的时候，不一定是一个正圆，有可能是椭圆等等。但是，如果能在z空间线性可分，那么在x空间就会有一个特殊形态的二次曲线(quadratic curve)。

如果拓展到所有形态的二次曲线：

下图就是所有可能的quadratic hypotheses的形式：

于是证明了z空间的线可以对应到x空间内所有形态的二次曲线，当然也包括直线。

那么什么样才是一个好的二次曲线呢？

下面是x空间和z空间的对应关系：

x空间线性不可分的情况，通过以下步骤可以转换成z空间线性可分并且可以用我们熟悉的模型进行分类。

1. 将x空间内的点通过feature transform Φ转换到z空间中去；

2. 通过已知的模型提出一个表现好的hypothesis g把z空间的点进行分类；

3. 将z空间的分类返回到x空间的分类。

上面讲的只是二项曲线的转换Φ₂，如果我们继续把维度提高到Q，我们的转换Φ_Q又有什么不同呢？

通过排列组合，我们有Q^d的努力才能解开Q次方的转换。不管是计算量还是储存量都要花额外的力气。另外，模型的复杂度VC Dimension也在提升：

当Q升高的时候，我们又要面临一个trade off了。

当Q不同的时候，不同维度的hypothesis set是一个包含的关系：

而随着hypothesis set变高的时候，E_in也在不断的变小。

同时解释了下图：

因为我们在意的是E_out不是E_in，高复杂度的hypothesis set不一定就是好的。

机器学习基石(12)--Nonlinear Transformation