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最短路算法--模板
迪杰斯特拉算法（Dijkstra）：
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 const int maxnum = 100; 4 const int maxint = 999999; 5 6 // 各数组都从下标1开始 7 int dist[maxnum]; // 表示当前点到源点的最短路径长度 8 int prev[maxnum]; // 记录当前点的前一个结点 9 int c[maxnum][maxnum]; // 记录图的两点间路径长度 10 int n, line; // 图的结点数和路径数 11 12 // n -- n nodes 13 // v -- the source node 14 // dist[] -- the distance from the ith node to the source node 15 // prev[] -- the previous node of the ith node 16 // c[][] -- every two nodes‘ distance 17 void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum]) 18 { 19 bool s[maxnum]; // 判断是否已存入该点到S集合中 20 for(int i=1; i<=n; ++i) 21 { 22 dist[i] = c[v][i]; 23 s[i] = 0; // 初始都未用过该点 24 if(dist[i] == maxint) 25 prev[i] = 0; 26 else 27 prev[i] = v; 28 } 29 dist[v] = 0; 30 s[v] = 1; 31 // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中 32 // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度 33 // 注意是从第二个节点开始，第一个为源点 34 for(int i=2; i<=n; ++i) 35 { 36 int tmp = maxint; 37 int u = v; 38 // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值 39 for(int j=1; j<=n; ++j) 40 if((!s[j]) && dist[j]<tmp) 41 { 42 u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码 43 tmp = dist[j]; 44 } 45 s[u] = 1; // 表示u点已存入S集合中 46 47 // 更新dist 48 for(int j=1; j<=n; ++j) 49 if((!s[j]) && c[u][j]<maxint) 50 { 51 int newdist = dist[u] + c[u][j]; 52 if(newdist < dist[j]) 53 { 54 dist[j] = newdist; 55 prev[j] = u; 56 } 57 } 58 } 59 } 60 // 查找从源点v到终点u的路径，并输出(写题时可以省略) 61 void searchPath(int *prev,int v, int u) 62 { 63 int que[maxnum]; 64 int tot = 1; 65 que[tot] = u; 66 tot++; 67 int tmp = prev[u]; 68 while(tmp != v) 69 { 70 que[tot] = tmp; 71 tot++; 72 tmp = prev[tmp]; 73 } 74 que[tot] = v; 75 for(int i=tot; i>=1; --i) 76 if(i != 1) 77 cout << que[i] << " -> "; 78 else 79 cout << que[i] << endl; 80 } 81 82 int main() 83 { 84 85 cin >> n; // 输入结点数 86 cin >> line; // 输入路径数 87 int p, q, len; // 输入p, q两点及其路径长度 88 89 // 初始化c[][]为maxint 90 for(int i=1; i<=n; ++i) 91 for(int j=1; j<=n; ++j) 92 c[i][j] = maxint; 93 94 for(int i=1; i<=line; ++i) 95 { 96 cin >> p >> q >> len; 97 if(len < c[p][q]) // 有重边 98 { 99 c[p][q] = len; // p指向q100 c[q][p] = len; // q指向p，这样表示无向图101 }102 }103 for(int i=1; i<=n; ++i)104 dist[i] = maxint;105 for(int i=1; i<=n; ++i)106 {107 for(int j=1; j<=n; ++j)108 printf("%8d", c[i][j]);109 printf("\n");110 }111 112 Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);113 //最短路径长度114 cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;115 //路径116 cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";117 searchPath(prev, 1, n);118 }
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #define inf 99999999 4 #define MAX 100 5 6 int n; 7 int dis[MAX]; 8 int path[MAX][MAX]; 9 int visit[MAX];10 int dijkstra () //起点从1开始 输出起点到终点的最短路径 11 {12 int i,j,pos,minn;13 for (i = 1; i <= n; i ++)14 {15 dis[i] = path[1][i];16 visit[i] = 0;17 }18 dis[1] = 0;19 visit[1] = 1;20 for(i = 1;i <= n; i ++)21 {22 minn = inf;23 for (j = 1; j <= n; j ++)24 if (!visit[j] && dis[j] < minn)25 {26 minn = dis[j];27 pos = j;28 } 29 visit[pos] = 1;30 for (j = 1; j <= n; j ++)31 {32 if (!visit[j] && dis[j] > dis[pos]+path[pos][j])33 dis[j] = dis[pos]+path[pos][j];34 }35 }36 return dis[n]; 37 }
弗洛伊德算法（Floyd算法）：
Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，
同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。
a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。
b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #define inf 99999999 4 #define MAX 100 5 6 int n; 7 int path[MAX][MAX]; 8 int floyd() //任意两点之间的最短路径 9 {10 int i,j,k;11 for (k = 1; k <= n; k ++)12 for (i = 1; i <= n; i ++)13 for (j = 1; j <= n; j ++)14 if (path[i][j] > path[i][k]+path[k][j])15 path[i][j] = path[i][k]+path[k][j];16 return path[1][n];17 }
Mellman-Frod算法：
适用条件&范围：
单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);
边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);
Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 using namespace std; 4 5 #define MAX 0x3f3f3f3f 6 #define N 1010 7 int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点 8 9 typedef struct Edge //边 10 { 11 int u, v; 12 int cost; 13 }Edge; 14 15 Edge edge[N]; 16 int dis[N], pre[N]; 17 18 bool Bellman_Ford() 19 { 20 for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化 21 dis[i] = (i == original ? 0 : MAX); 22 for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i) 23 for(int j = 1; j <= edgenum; ++j) 24 if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~） 25 { 26 dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost; 27 pre[edge[j].v] = edge[j].u; 28 } 29 bool flag = 1; //判断是否含有负权回路 30 for(int i = 1; i <= edgenum; ++i) 31 if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost) 32 { 33 flag = 0; 34 break; 35 } 36 return flag; 37 } 38 39 void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向） 40 { 41 while(root != pre[root]) //前驱 42 { 43 printf("%d-->", root); 44 root = pre[root]; 45 } 46 if(root == pre[root]) 47 printf("%d\n", root); 48 } 49 50 int main() 51 { 52 scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original); 53 pre[original] = original; 54 for(int i = 1; i <= edgenum; ++i) 55 { 56 scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost); 57 } 58 if(Bellman_Ford()) 59 for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路 60 { 61 printf("%d\n", dis[i]); 62 printf("Path:"); 63 print_path(i); 64 } 65 else 66 printf("have negative circle\n"); 67 return 0; 68 }
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #define inf 99999999 4 #define MAX 100 5 6 struct land 7 { 8 int x,y,z; 9 }path[MAX]; 10 void add(int u,int v,int w) //从u到v路径为w11 {12 path[ans].x = u;13 path[ans].y = v;14 path[ans].z = w;15 ans ++;16 } 17 int n; //n个节点18 int ans; //ans条路 19 int path[MAX][MAX];20 bool Bellman_ford() //判断是否出现正环或负环21 {22 int i,j;23 for (i = 1; i <= n; i ++)24 dis[i] = inf;25 dis[1] = 0;26 27 for (i = 1; i < n; i ++) //n-1次循环28 {29 bool flag = false; //优化 30 for(j = 0; j < m; j ++) //松弛m条路31 if(dis[path[j].y] > dis[path[j].x]+path[j].z)32 {33 dis[path[j].y] = dis[path[j].x]+path[j].z;34 flag = true;35 }36 if (!flag) //不能松弛，表示一定不存在负权值回路 37 return false;38 }39 40 for (j = 0; j < m; j ++)41 if (dis[path[j].y] > dis[path[j].x]+path[j].z)42 return true;43 return false;44 }
SPFA算法：
推荐博客：http://www.cnblogs.com/scau20110726/archive/2012/11/18/2776124.html
http://blog.csdn.net/muxidreamtohit/article/details/7894298
适用范围：给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。 我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。
算法思想：我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止
以POJ1511为例
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #define inf 9999999999 4 #include <iostream> 5 #include <queue> 6 #include <algorithm> 7 using namespace std; 8 struct node 9 { 10 int to; 11 int w; 12 int next; 13 }; 14 queue <int > q; 15 int n,m; 16 node list[1000010]; 17 node list1[1000010]; 18 int vis[1000010]; 19 int dis[1000010]; 20 int h1[1000010]; 21 int h2[1000010]; 22 void spfa() 23 { 24 int i,j,u; 25 for (i = 1; i <= n; i ++) 26 { 27 dis[i] = inf; 28 vis[i] = 0; 29 } 30 q.push(1); 31 dis[1] = 0; 32 vis[1] = 1; 33 34 while (!q.empty()) 35 { 36 u = q.front(); 37 q.pop(); 38 vis[u] = 0; 39 for (j = h1[u]; j ; j = list[j].next) 40 { 41 if (dis[list[j].to] > dis[u]+list[j].w) 42 { 43 dis[list[j].to] = dis[u]+list[j].w; 44 if (!vis[list[j].to]) 45 { 46 q.push(list[j].to); 47 vis[list[j].to] = 1; 48 } 49 } 50 } 51 } 52 } 53 void spfa1() 54 { 55 int i,j,u; 56 for (i = 1; i <= n; i ++) 57 { 58 dis[i] = inf; 59 vis[i] = 0; 60 } 61 q.push(1); 62 dis[1] = 0; 63 vis[1] = 1; 64 65 while (!q.empty()) 66 { 67 u = q.front(); 68 q.pop(); 69 vis[u] = 0; 70 for (j = h2[u]; j ; j = list1[j].next) 71 { 72 if (dis[list1[j].to] > dis[u]+list1[j].w) 73 { 74 dis[list1[j].to] = dis[u]+list1[j].w; 75 if (!vis[list1[j].to]) 76 { 77 q.push(list1[j].to); 78 vis[list1[j].to] = 1; 79 } 80 } 81 } 82 } 83 } 84 int main () 85 { 86 int i,j,t,u,v,w,ans; 87 scanf("%d",&t); 88 while (t --) 89 { 90 scanf("%d%d",&n,&m); 91 memset(h1,0,sizeof(h1)); 92 memset(h2,0,sizeof(h2)); 93 for (ans = 1,i = 0; i < m; i ++) 94 { 95 scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); 96 node temp = {v,w,0}; 97 list[ans] = temp; 98 list[ans].next = h1[u]; 99 h1[u] = ans;100 temp.to = u;101 list1[ans] = temp;102 list1[ans].next = h2[v];103 h2[v] = ans;104 ans ++;105 }106 long long sum = 0;107 spfa();108 for (i = 1; i <= n; i ++)109 sum += dis[i];110 spfa1();111 for (i = 1; i <= n; i ++)112 sum += dis[i];113 printf("%lld\n",sum);114 }115 return 0;116 }
最短路算法--模板
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