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BZOJ1491 [NOI2007]社交网络

2024-10-07 22:04:38   219人阅读

Description

在社交网络（socialnetwork）的研究中，我们常常使用图论概念去解释一些社会现象。不妨看这样的一个问题。
在一个社交圈子里有n个人，人与人之间有不同程度的关系。我们将这个关系网络对应到一个n个结点的无向图上，
两个不同的人若互相认识，则在他们对应的结点之间连接一条无向边，并附上一个正数权值c，c越小，表示两个人
之间的关系越密切。我们可以用对应结点之间的最短路长度来衡量两个人s和t之间的关系密切程度，注意到最短路
径上的其他结点为s和t的联系提供了某种便利，即这些结点对于s和t之间的联系有一定的重要程度。我们可以通过
统计经过一个结点v的最短路径的数目来衡量该结点在社交网络中的重要程度。考虑到两个结点A和B之间可能会有
多条最短路径。我们修改重要程度的定义如下：令Cs,t表示从s到t的不同的最短路的数目，Cs,t(v)表示经过v从s
到t的最短路的数目；则定义
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为结点v在社交网络中的重要程度。为了使I(v)和Cs,t(v)有意义，我们规定需要处理的社交网络都是连通的无向图
，即任意两个结点之间都有一条有限长度的最短路径。现在给出这样一幅描述社交网络的加权无向图，请你求出每
一个结点的重要程度。

Input

输入第一行有两个整数n和m，表示社交网络中结点和无向边的数目。在无向图中，我们将所有结点从1到n进行编号
。接下来m行，每行用三个整数a，b，c描述一条连接结点a和b，权值为c的无向边。注意任意两个结点之间最多有
一条无向边相连，无向图中也不会出现自环（即不存在一条无向边的两个端点是相同的结点）。n≤100；m≤4500 
，任意一条边的权值 c 是正整数，满足：1≤c≤1000。所有数据中保证给出的无向图连通，且任意两个结点之间
的最短路径数目不超过 10^10
 

Output

输出包括n行，每行一个实数，精确到小数点后3位。第i行的实数表示结点i在社交网络中的重要程度。

Sample Input

4 4
1 2 1
2 3 1
3 4 1
4 1 1

Sample Output

1.000
1.000
1.000
1.000

HINT

社交网络如下图所示。

 

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对于 1 号结点而言，只有 2 号到 4 号结点和 4 号到 2 号结点的最短路经过 1 号结点，而 2 号结点和 4 号结

 

点之间的最短路又有 2 条。因而根据定义，1 号结点的重要程度计算为 1/2 + 1/2 = 1 。由于图的对称性，其他

 

三个结点的重要程度也都是 1 。

题解

暴力Floyd求出最短路，顺便求出$C_{s, t}$。

那么，$C_{s, t}(v) = C_{s, v}C_{v, t} (dis_{s, v} + dis_{v, t} = dis_{s, t})$，暴力枚举s，t，v即可。

附代码：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
typedef long long LL;
const LL INF = 1000000000000000LL;
const int N = 105;
LL d[N][N], C[N][N];
int main() {
  int n, m;
  std::fill(d[0], d[N], INF);
  std::fill(C[0], C[N], 1);
  scanf("%d%d", &n, &m);
  for (int i = 1; i <= n; ++i)
    d[i][i] = 0;
  while (m--) {
    int x, y;
    scanf("%d%d", &x, &y);
    scanf("%lld", &d[x][y]);
    d[y][x] = d[x][y];
  }
  for (int k = 1; k <= n; ++k)
    for (int i = 1; i <= n; ++i) if (i != k)
      for (int j = 1; j <= n; ++j) if (j != i && j != k) {
        if (d[i][j] > d[i][k] + d[k][j]) {
          d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];
          C[i][j] = C[i][k] * C[k][j];
        } else if (d[i][j] == d[i][k] + d[k][j])
          C[i][j] += C[i][k] * C[k][j];
      }
  for (int v = 1; v <= n; ++v) {
    double I = .0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) if (v != i)
      for (int j = 1; j <= n; ++j) if (v != j)
        if (d[i][v] + d[v][j] == d[i][j])
          I += (double)(C[i][v] * C[v][j]) / C[i][j];
    printf("%.3lf\n", I);
  }
  return 0;
}

　　

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