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【BZOJ1492】【NOI2007】货币兑换

2024-09-24 00:25:02   217人阅读

我果然不会斜率优化

原题：

小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A纪念券（以下简称A券）和 B纪念券（以下
简称B券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动，
两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券 和 B券 的
价值分别为 AK 和 BK（元/单位金券）。为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法
。比例交易法分为两个方面：（a）卖出金券：顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例，其意义为：将
 OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以当时的价值兑换为人民币；（b）买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑
换给用户总价值为 IP 的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK；例如，假定接
下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为：
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假定在第一天时，用户手中有 100元 人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作：
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注意到，同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经
知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能
够获得多少元钱。
2.必然存在一种最优的买卖方案满足：
每次买进操作使用完所有的人民币；
每次卖出操作卖出所有的金券。
n<=100000
 
神题QAQ
cdq太神了QAQ
恩首先需要想到一个思路非常鬼畜的基础dp： 令f[i]为第i天把钱花光最多能持有多少A券，则技术分享

f[i]这么鬼畜的意义我是想不到啊QAQ

恩这道题从一开始就鬼畜了起来

根据得出的基础dp可以写出n^2的程序，显然优化对吧，斜率优化（为啥要斜率优化？我不懂啊QAQ

然后令j比k优，就酱技术分享

令g[i]=f[i]/rate[i]，酱技术分享

然后就斜率优化了，但是维护凸包似乎很麻烦（我不会QAQ），splay不好写，我们cdq分治

具体咋整，看代码意会吧我讲不清楚QAQ

方便以后常看所以代码加了注释QAQ

代码：（抄黄学长的QAQ

技术分享 
 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cmath>
 6 using namespace std;
 7 const double inf=1e20;
 8 const double eps=2e-9;
 9 struct nds{double x,y,a,b,k,rt;  int w,id;}a[110000],tmp[110000];
10 int n;
11 double f[110000];
12 int stck[110000],tp=0;
13 double gtk(int x,int y){
14     if(!y)  return -inf;
15     if(fabs(a[x].x-a[y].x)<eps)  return inf;
16     return (a[y].y-a[x].y)/(a[y].x-a[x].x);
17 }
18 void cdq(int l,int r){
19     if(l==r){
20         f[l]=max(f[l],f[l-1]);
21         a[l].y=f[l]/(a[l].a*a[l].rt+a[l].b);//y是a券的个数
22         a[l].x=a[l].rt*a[l].y;//x是b券
23         return ;
24     }
25     int md=(l+r)>>1;  int t1=l,t2=md+1;
26     for(int i=l;i<=r;++i)  tmp[(a[i].id<=md?t1:t2)++]=a[i];
27     for(int i=l;i<=r;++i)  a[i]=tmp[i];//先按照原来id左右划分
28     cdq(l,md);//中序cdq
29     tp=0;
30     for(int i=l;i<=md;++i){
31         while(tp>1 && gtk(stck[tp-1],stck[tp])<gtk(stck[tp-1],i)+eps)  --tp;        stck[++tp]=i;
32     }//搞左边的凸包
33     stck[++tp]=0;
34     for(int i=md+1,j=1;i<=r;++i){
35         while(j<tp && gtk(stck[j],stck[j+1])+eps>a[i].k) ++j;
36         f[a[i].id]=max(f[a[i].id],a[stck[j]].x*a[i].a+a[stck[j]].y*a[i].b);
37     }//更新答案
38     cdq(md+1,r);
39     t1=l,t2=md+1;
40     for(int i=l;i<=r;++i){
41         if(t1>md)  tmp[i]=a[t2++];
42         else if(t2>r)  tmp[i]=a[t1++];
43         else  tmp[i]=a[(a[t1].x<a[t2].x||(fabs(a[t1].x-a[t2].x)<eps&&a[t1].y<a[t2].y)?t1:t2)++];
44     }//按x第一y第二优先级排序，方便上一层搞凸包a
45     for(int i=l;i<=r;++i)  a[i]=tmp[i];
46 }
47 bool cmp(nds a,nds b){  return a.k>b.k;}
48 int main(){freopen("ddd.in","r",stdin);
49     scanf("%d%lf",&n,&f[0]);
50     for(int i=1;i<=n;++i){
51         scanf("%lf%lf%lf",&a[i].a,&a[i].b,&a[i].rt);
52         a[i].k=-a[i].a/a[i].b,a[i].id=i;
53     }
54     sort(a+1,a+n+1,cmp);//没想明白对k排序的意义QAQ
55     cdq(1,n);
56     printf("%.3lf\n",f[n]);
57     return 0;
58 }
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