BP算法推算过程

    当加入第$k$个输入时，隐蔽层$h$结点的输入加权和为：

\[s_h^k = \sum\limits_i {w_{ih} x_i^k }\]

相应点的输出：

\[y_h^k = F(s_h^k ) = F(\sum\limits_i {w_{ih} x_i^k } )\]

同样，输出层$j$结点的输入加权和为：

\[s_j^k = \sum\limits_h {w_{hj} y_h^k } = \sum\limits_h {w_{hj} F(\sum\limits_i {w_{ih} x_i^k } )}\]

相应点的输出：

\[y_j^k = F(s_j^k ) = F(\sum\limits_h {w_{hj} y_h^k } ) = F[\sum\limits_h {w_{hj} F(\sum\limits_i {w_{ih} x_i^k } )} ]\]

这里，各结点的阈值等效为一个连接的加权$\theta=w_{oh}\text{or} w_{oj}$,这些连接由各结点连到具有固定值-1的偏置结点，其连接加权也是可调的，同其它加权一样参与调节过程。

误差函数为：

\[E(W) = \frac{1}{2}\sum\limits_{k,j} {(T_j^k - y_j^k )^2 } = \frac{1}{2}\sum\limits_{k,j} {\{ T_j^k - F[\sum\limits_h {w_{hj} F(\sum\limits_i {w_{ih} x_i^k } )} ]\} ^2 }\]

为了使误差函数最小，用梯度下降法求得最优的加权，权值先从输出层开始修正，然后依次修正前层权值，因此含有反传的含义。

根据梯度下降法，由隐蔽层到输出层的连接的加权调节量为：

\[\Delta w_{hj} = - \eta \frac{{\partial E}}{{\partial w_{hj} }} = \eta \sum\limits_k {(T_j^k - y_j^k )F‘(s_j^k )y_h^k = } \eta \sum\limits_k {\delta _j^k y_h^k }\]

其中$\delta_j^k$为输出结点的误差信号：

\[\delta _j^k = F‘(s_j^k )(T_j^k - y_j^k ) = F‘(s_j^k )\Delta _j^k \quad\quad (1)\]

\[\Delta _j^k = T_j^k - y_j^k\]

对于输入层到隐蔽层结点连接的加权修正量$\Delta w_{ij}$，必须考虑将$E(W)$对$w_{ih}$求导，因此利用分层链路法，有：

\[\begin{array}{l}\Delta w_{ih} = - \eta \frac{{\partial E}}{{\partial w_{ih} }} = - \eta \sum\limits_k {\frac{{\partial E}}{{\partial y_h^k }}} \cdot \frac{{\partial y_h^k }}{{\partial w_{ih} }} = \eta \sum\limits_{k,j} {\{ (T_j^k - y_j^k )F‘(s_j^k )w_{hj} \cdot F‘(s_h^k )x_i^k } \} \\ \quad \quad = \eta \sum\limits_{k,j} {\delta _j^k w_{hj} F‘(s_h^k )x_i^k } = \eta \sum\limits_k {\delta _h^k x_i^k } \\ \end{array}\]

其中：

\[\delta _h^k = F‘(s_h^k )\sum\limits_j {w_{hj} \delta _j^k } = F‘(s_h^k )\Delta _h^k \quad\quad (2)\]

\[\Delta _h^k = \sum\limits_j {w_{hj} \delta _j^k }\]

可以看出，式(1)和(2)具有相同的形式，所不同的是其误差值的定义，所以可定义BP算法对任意层的加权修正量的一般形式：

\[\Delta w_{pq} = \eta \sum\limits_{vector\_no\_P} {\delta _o y_{in} }\]

若每加入一个训练对所有加权调节一次，则可写成：

\[\Delta w_{pq} = \eta \delta _o y_{in}\]

其中，下标o和in指相关连接的输出端点和输入端点，$y_{in}$代表输入端点的实际输入，$\delta_o$表示输出端点的误差，具体的含义由具体层决定，对于输出层由式(1)给出，对隐蔽层则由式(2)给出。

输出层$\Delta _j^k = T_j^k - y_j^k $可直接计算，于是误差值$\delta_j^k$很容易得到。对前一隐蔽层没有直接给出目标值，不能直接计算$\Delta _h^k $，而需利用输出层的$ \delta _j^k $来计算：

\[\Delta _h^k = \sum\limits_j {w_{hj} \delta _j^k }\]

因此，算出$\Delta _h^k $后，$ \delta _h^k $也就求出了。

如果前面还有隐蔽层，用$ \delta _h^k $再按上述方法计算$\Delta _1^k $和$\delta _1^k $，以此类推，一直将输出误差$\delta$一层一层推算到第一隐蔽层为止。各层的$\delta$求得后，各层的加权调节量即可按上述公式求得。由于误差$ \delta _j^k $相当于由输出向输入反向传播，所以这种训练算法成为误差反传算法（BP算法）。

BP训练算法实现步骤

     准备：训练数据组。设网络有$m$层，$y_j^m$表示第$m$中第$j$个节点的输出，$y_^0$（零层输出）等于$x_j$，即第$j$个输入。$w_{ij}^m$表示从$y_i^{m-1}$到$y_j^m$的连接加权。这里，$m$代表层号，而不是向量的类号。

      1.将各加权随机置为小的随机数。可用均匀分布的随机数，以保证网络不被大的加权值所饱和。

      2. 从训练数据组中选一数据对$x^k,T^k$, 将输入向量加到输入层$(m=0)$,使得对所有端点$i$:         $y_i^0=x_i^k$, $k$表示向量类号

      3. 信号通过网络向前传播，即利用关系式：

\[y_j^m=F(s_j^m)=F(\sum_iw_{ij}^my_i^{m-1})\]

计算从第一层开始的各层内每个节点$i$的输出$y_j^m$,直到输出层的每个节点的输出计算完为止。

      4. 计算输出层每个结点的误差值（利用公式(1)）

\[\delta_j^m=F‘(s_j^m)(T_j^k-y_i^m)=y_j^m(1-y_j^m)(T_j^k-y_j^m),(\text{对Sigmod函数})\]

它是由实际输出和要求目标值之差获得。

     5. 计算前面各层结点的误差值（利用公式（2））

\[\delta_j^{m-1}=F‘(s_j^{m-1}\sum_iw_{ji}\delta_i^m)\]

这里逐层计算反传误差，直到将每层类每个结点的误差值算出为止。

     6. 利用加权修正公式

\[
\Delta w_{ij}^m = \eta \delta _j^m y_i^{m - 1} 
\]

和关系

\[
w_{ij}^{new} = w_{ij}^{old} + \Delta w_{ij} 
\]

修正所有连接权。一般$\eta=0.01--1$，称为训练速率系数。

     7. 返回第2步，为下一个输入向量重复上述步骤，直至网络收敛。

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