这篇文章的雏形是我早先发在博士家园的一个帖子，不过应者寥寥。现在我决定自娱自乐把它扩展为一个系列。

下面这些优美的图案，相信你会有似曾相识的感觉：

你知道这两张图说的是怎么回事吗？它们是基于怎样的道理画出来的？

还有一类美妙的图形，那就是我们都熟悉的万花筒：

这两类图形都展示了某种高度的对称性。它们的背后有怎样的数学呢？这个系列就来介绍这个问题。

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站在一面哈哈镜面前，你会发现有些事情会变得古怪起来：

你大概能猜到这是因为哈哈镜的镜面不是平直的，而是弯曲的缘故。那么问题来了：给你一面哈哈镜（假设是一段圆弧），你在镜子中的模样是怎样的？

答案其实是我们都熟悉的反演变换：

假设你站在镜子外面的点 $P$，那么你在镜子中的像 $P‘$ 满足 $|OP|\cdot|OP‘|=R^2$。

所以一个看起来规则的图形，在经过一次反演之后可能会变得弯曲。

Poincaré 双曲空间，万花筒的原理，Coxeter 群（一）