万花筒是我们都不陌生的玩具：将三块镜子搭成一个三棱柱，用一个封闭的圆筒包起来。圆筒的一端开一个小口（用来观察），另一端用一个盖子盖住，盖子的一面是透明的，另一面是不透光的，两面之间的夹层中填充有一些彩色的图案。当观察者转动万花筒的时候，图案也会随之重新排列，从而它们在三个镜子中生成的（很多）虚像也会发生变化，就产生了各种不同的奇妙景象。

那么万花筒背后有怎样的数学呢？

在制作万花筒的时候，我们希望生成的图案是符合某种规则的，具有一定对称性（比如上面的图）。这是一个很自然的美学要求，这就对镜子的夹角提出了限制。事实上如果镜子的夹角可以任意调整的话，你会发现大多数时候得到的图案是乱七八糟没什么规律的，并不好看。说的准确点，就是我们希望通过选择镜子间合适的夹角，使得图案的所有虚像互相是不重叠的。

Poincaré 双曲空间，万花筒的数学，Coxeter 群（下）