折线分割平面

我们看到过很多直线分割平面的题目，今天的这个题目稍微有些变化，我们要求的是n条折线分割平面的最大数目。比如，一条折线可以将平面分成两部分，两条折线最多可以将平面分成7部分，具体如下所示。

2
1
2

2
7

分析：递推题

1、我们先来看看增加直线的情况：

不添加直线时，只有 1 个面；添加一条直线时，有 2 个面； 添加两条直线时，有 4 个面；再往后添加直线时，为使分隔面尽可能的多，则第 n 条直线需与前 n - 1 条直线相交且不存在三线或三线以上交于一点的情况。这样的话，在平面中，增加第 n 条直线就会增加 n - 1 个交点。也不难发现，平面中增加 i 个点就会增加 i + 1 个面。所以 n 条直线分割平面最大数是1 + 1 + 2 + 3 + ... + n = (n² + n + 2) / 2

2、我们再来看看增加平行线的情况：

一组平行线都不添加时，只有 1 个面；添加一组平行线时，有 3 个面；添加两组平行线时，有 9 个面；再往后添加平行线时，和上述添加直线情况类似。当第 n 次添加平行线时，前面已经有 2 * ( n - 1) 条直线了，所以第 n 组平行线，即 2n - 1 条和第 2n 条直线添加进去的时候，各增加了 2 * ( n - 1) 个点，也就是增加了 2 * ( n - 1) + 1 个面。所以第 n 次添加平行线增加的总面数是 2 * [ 2 * ( n - 1) + 1 ] = 4 * n - 2 .所以 n 组平行线分隔的总面数是 1 + ( 3 + 4 * 1 - 2 ) + ( 3+ 4 * 1 - 2 + 4 * 2 - 2 ) + …… + ( 3+ 4 * 1 - 2 + 4 * 2 - 2 + …… + 4 * n -2 ) = 2 * n² + 1 .

3、我们再来看看本题增加折线的情况：

平行线的一端相交就成了折线，相交后，有两个面就会合为一个面，所以 n 组平行线变成折线以后，就会减少 n 个面。所以本题 n 条折线就分割出 2 * n² - n + 1 个面。

import java.util.Scanner;

public class Main {

	static int[] nums = new int[10001];

	static {
		for (int i = 0; i < 10001; i++) {
			nums[i] = 2 * i * i - i + 1;
		}
	}

	public static void main(String[] args) {
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		int c = scanner.nextInt();

		while (c-- != 0) {
			int n = scanner.nextInt();

			System.out.println(nums[n]);
		}
	}
}