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线性代数笔记（内积空间，实二次型）

2024-11-16 02:38:02   202人阅读

1）几何向量的数量积：A
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·B=||A|| ||B||cosθ，也叫点积，内积，注意：数量积是一个数；
2）数量积的四条基本性质：A??·B=B??·A;(A+B)??·C=A??·C+B??·C;(kA)??·B=k(A??·B);A??·A≥0，且当A=0时等号成立；
3）两个向量数量积等于0的充要条件是它们正交;
4）两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的代数和；
5）内积公理：(A,B)=(B,A);(kA,B)=(A,kB);(A+B,C)=(A,C)+(B,C),(A,A)≥0，当且仅当A=0时等号成立；（A,B)表示一个数，实数。
6）欧几里得空间；
7）模||A||=sqrt(A,A),单位向量:||A||≥0，A=0时||A||=0;||kA||=|k|||A||;|(A,B)|<=||A|| ||B||,||A+B||<=||A||+||B||;
8）夹角：A和B的夹角θ=arccons((A,B)/(||A|| ||B||));
9）如果(A,B)=0，则AB正交（垂直）；
10）正交组：一组向量两两正交，就叫正交组；如果正交组的向量模都为1，则叫标准正交组;
11）不含零向量的正交组是线性无关的；标准正交向量组一定线性无关；在n维内积空间V中，任何n个两两正交的非零向量一定构成V的一个基底；向量个数超过n的正交组一定线性相关。
12）正交基，标准正交基
13）在正交基下的坐标可以通过坐标内积计算：ε1,ε2...,εn，为正交基，A=x1ε1+....+xnεn,则xj=(εj,A)/(εj,εj).如果是标准正交基：xj=(εj,A).
14）施密特正交化方法：参见MyMathLib.
15）n阶矩阵A是正交矩阵的充分必要条件是A的列向量组是标准正交向量组.
16)在Rn中，以任何r个线性无关的列向量为前r列，做一个满秩的矩阵A=（α1，α2...,αr,...,αn),其中ar+1...αn可以取自然基底中的向量，这样A就是Rn的一个基底，再正交化，单位化，就得到Rn的一个标准正交基;
17)实对称矩阵的特征值都是实数；实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量一定正交；n阶是对称矩阵一定相似于一个对角矩阵;
18)如果A是n阶实对称矩阵，则一定存在一个正交矩阵Q，使得T(Q)AQ成为对角矩阵.
19)合同：A，B是实对称矩阵，如果存在满秩矩阵P使得t(P)AP=B,则称A合同于B。实对称矩阵的相似且合同于对角矩阵；实对称矩阵的合同关系具有如下性质，反身性，对称性和传递性；
20）二次型,n元实二次型,t(X)AX,A为实二次型的矩阵;
21）二次型化平方和算法：
    A）写出n元二次型的矩阵A B)求的A的全部特征值 C）求的A的特征值的特征向量；D）将这些特征向量正交化，单位化，得到n个两两正交的单位特征向量 E)做正交矩阵Q,Q的列为单位特征向量 F)将X=QY代人二次型得到平方和形式
22）正交变换法，正交变换，正交变换下的保准形；
23）初等变换法：利用对称消元
24）惯性定理：非零项的个数一定等于矩阵的秩数；非零项中正项个数和负项个数都是定数。负惯性指数，正惯性指数；
25）正定二次型：n元二次型正定的充分必要条件是它的惯性指数为n;
26）正定矩阵：如果二次型是正定的，则实对称矩阵A是正定矩阵；实对称矩阵A正定的充要条件是它合同于单位矩阵；实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆的实矩阵C，使得t(C) C=A.
27）如果A正定，则|A|>0
28）二次型正定的充分必要条件是它的矩阵A的所有顺序主子式全大于0；
29）实对称矩阵正定的充分必要条件是它的各阶顺序主子式全大于0；
30）二次型和实对称矩阵A：正定的充要条件是所有特征值大于0，负定的充要条件是所有的特征值为负；

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