子串和再续

给定n个数求这n个数划分成互不相交的m段的最大m子段和。　　 经典的动态规划优化的问题。设f(i, j)表示前i个数划分成j段，且包括第i个数的最大m子段和，那么有dp方程：　　     f(i, j) = max { f(i - 1, j) + v[i], max {f(k, j - 1) + v[i]}(k = j - 1 ... i - 1) }　　也就是说第i个数要么自己划到第j段，要么和前一个数一起划到第j段里面，转移是O(n)的，总复杂度O(n * n * m)。　　可以引入一个辅助数组来优化转移。设g(i, j)表示前i个数划分成j段的最大子段和（注意第i个数未必在j段里面），那么递推关系如下：　　     g(i, j) = max{g(i - 1, j), f(i, j)}，分是否加入第i个数来转移　　这样f的递推关系就变成：　　　　f(i, j) = max{f(i - 1, j), g(i - 1, j - 1)} + v[i]，转移变成了O(1)　　这样最后的结果就是g[n][m]，通过引入辅助数组巧妙的优化了转移。实现的时候可以用一维数组，速度很快。#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<string>#include<cmath>#include<map>#include<queue>using namespace std;const int N=1e6+5;const int INF=-0x7ffffff;int g[N],f[N],a[N];int max_sum(int m,int n){    int i,j,t;    for(i=1; i<=n; i++)    {        t=min(i,m);        //最大才m组，所以j不能大于t；        for(j=1; j<=t; j++)        {            f[j]=max(f[j],g[j-1])+a[i];            g[j-1]=max(g[j-1],f[j-1]);        }        g[j-1]=max(g[j-1],f[j-1]);    }    return g[m];}int main(){    int i,j,k,t,m,n;    cin>>t;    while(t--)    {        cin>>m>>n;        g[0]=f[0]=0;        for(int i=1; i<=n; i++)        {            cin>>a[i];            f[i]=g[i]=INF;//全部初始化为 最小值        }        cout<<max_sum(m,n)<<endl;    }    return 0;}