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POJ1061——青蛙的约会(扩展欧几里德)

青蛙的约会

Description
两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input
1 2 3 4 5
Sample Output
4

题目大意:

    中文。

解题思路:

    扩展欧几里德应用:求方程Ax+By=C的一组解(x0,y0)。 

    由题意可得方程:

      x+mt=y+nt+CL

    --> x-y=(n-m)t+CL 且 (x-y),(n-m),L已知.就是求满足方程的最小正整数解t

    结论:设a,b,c为任意整数。若方程ax+by=c的一组整数解为(x0,y0),则它的任意整数解都可以写成(x0+kb‘,y0-ka‘),其中a‘=a/gcd(a,b),b‘=b/gcd(a,b),k为任意整数。

    推论:设其中x0为所有整数解中最接近零的解,设用exgcd()解出来的解为x1。则x0=x1%b‘=x1%(b/gcd(a,b))

       若x0非负,x0即为最小正整数解;若求出的x0为负数,这x0+b‘为最小正整数解。

    PS:数据很大 需要使用longlong

Code:

 1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #define MAXN 10000 4 #define LL long long 5 using namespace std; 6 LL extended_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) //返回值为gcd(a,b) 7 { 8     LL ret,tmp; 9     if (b==0)10     {11         x=1,y=0;12         return a;13     }14     ret=extended_gcd(b,a%b,x,y);15     tmp=x;16     x=y;17     y=tmp-a/b*y;18     return ret;19 }20 int main()21 {22     LL x,y,m,n,L;23     while (scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&x,&y,&m,&n,&L)!=EOF)24     {25         LL a=m-n,b=L,c=y-x;26         if (a<0) a=n-m,c=x-y;27         LL re1,re2;28         LL d=extended_gcd(a,b,re1,re2);29         LL r1=c*re1/d;30         LL r2=c*re2/d;31         if (r1*d!=c*re1||r2*d!=c*re2) //c若不是gcd(a,b)的整数倍,则无解。32             printf("Impossible\n");33         else34         {35             r1=r1%(L/d);  //求最小正整数解36             if (r1<0) r1+=L/d;37             printf("%lld\n",r1);38         }39     }40     return 0;41 }