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HDU2138 随机素数测试 Miller-Rabin算法

题目描述

  Give you a lot of positive integers, just to find out how many prime numbers there are..

  In each case, there is an integer N representing the number of integers to find. Each integer won’t exceed 32-bit signed integer, and each of them won’t be less than 2.

  32-bit signed intege,最普通的肯定要超时,筛选法要超内存,开小的话就越界。

miller_rabin算法 

一.费马小定里

if n is prime and gcd(a,n) equals one ,then a^(n-1) = 1 (mod n)

费马小定理只是个必要条件,符合费马小定理而非素数的数叫做Carmichael.

前3个Carmichael数是561,1105,1729。

Carmichael数是非常少的。

在1~100000000范围内的整数中,只有255个Carmichael数。

为此又有二次探测定理,以确保该数为素数:

二.二次探测定理

二次探测定理 如果p是一个素数,0<x<p,则方程x^2≡1(mod p)的解为x=1,p-1

根据以上两个定理,如到Miller-Rabin算法的一般步骤:

0、先计算出m、j,使得n-1=m*2^j,其中m是正奇数,j是非负整数

1、随机取一个b,2<=b

2、计算v=b^m mod n

3、如果v==1,通过测试,返回

4、令i=1

5、如果v=n-1,通过测试,返回

6、如果i==j,非素数,结束

7、v=v^2 mod n,i=i+1

8、循环到5

说明:

Miller-Rabin是随机算法

得到的结果的正确率为75%,所以应该多次调用该函数,使正确概率提高为1-(1/4)^s

解云鹏你懂了吗?

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#include <iostream>#include <algorithm>#define ll long longusing namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;int i, j, k;ll m, b;int numCase;ll n;bool flag;int S = 5;ll quickpow(ll m,ll n,ll k){    int b = 1;    while (n > 0){          if (n & 1)             b = (b*m)%k;          n = n >> 1 ;          m = (m*m)%k;    }    return b;}bool Miller_Rabin(){    int temp_n = n -1;    j = 0;    while(temp_n % 2 == 0){        ++j;        temp_n /= 2;    }    m = (n -1) / (1 << j);    int v = quickpow(b, m, n);    if(1 == v){        flag = true;        return flag;    }    int i = 0;    while(++i <= 5){        if(v == n - 1){            flag = true;        } else if(i == j){            flag = false;            return flag;        }    }}bool witness(ll a,ll n){    ll t,d,x;    d=1;    int i=ceil(log(n-1.0)/log(2.0)) - 1;    for(;i>=0;i--)    {        x=d;  d=(d*d)%n;        if(d==1 && x!=1 && x!=n-1) return true;        if( ((n-1) & (1<<i)) > 0)            d=(d*a)%n;    }    return d==1? false : true;}bool miller_rabin(ll n){    int s[]={2,7,61};    if(n==2)    return true;    if(n==1 || ((n&1)==0))    return false;    for(int i=0;i<3;i++)        if(witness(s[i], n))    return false;    return true;}int main(){    while(EOF != scanf("%d",&numCase)){        flag = false;        int count = 0;        while(numCase--){            cin >> n;            if(miller_rabin(n)) ++count;        }        cout << count << endl;    }    return 0;}