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ACM-SG函数之Fibonacci again and again——hdu1848

2024-07-02 16:17:18   227人阅读

Fibonacci again and again

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Total Submission(s): 4248    Accepted Submission(s): 1768

Problem Description
任何一个大学生对菲波那契数列(Fibonacci numbers)应该都不会陌生，它是这样定义的：
F(1)=1;
F(2)=2;
F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3);
所以，1,2,3,5,8,13……就是菲波那契数列。
在HDOJ上有不少相关的题目，比如1005 Fibonacci again就是曾经的浙江省赛题。
今天，又一个关于Fibonacci的题目出现了，它是一个小游戏，定义如下：
1、  这是一个二人游戏;
2、  一共有3堆石子，数量分别是m, n, p个；
3、  两人轮流走;
4、  每走一步可以选择任意一堆石子，然后取走f个；
5、  f只能是菲波那契数列中的元素（即每次只能取1，2，3，5，8…等数量）；
6、  最先取光所有石子的人为胜者；

假设双方都使用最优策略，请判断先手的人会赢还是后手的人会赢。
 
Input
输入数据包含多个测试用例，每个测试用例占一行，包含3个整数m,n,p（1<=m,n,p<=1000）。
m=n=p=0则表示输入结束。
 
Output
如果先手的人能赢，请输出“Fibo”，否则请输出“Nacci”，每个实例的输出占一行。
 
Sample Input
1 1 1
1 4 1
0 0 0
 
Sample Output
Fibo
Nacci
 
Author
lcy
 
Source
ACM Short Term Exam_2007/12/13
 
题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1848

用SG函数做的第一道题。
对于SG函数，还是有些不太懂，
但是，我看下面说的，就有些明白了：

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。

例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。


对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g（x）即sg[x]


例如：取石子问题，有1堆n个的石子，每次只能取{1，3,4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

sg[0]=0，f[]={1,3,4},


x=1时，可以取走1-f{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;

x=2时，可以取走2-f{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；

x=3时，可以取走3-f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1;

x=4时，可以取走4-f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;

x=5时，可以取走5-f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；

以此类推.....

   x         0  1  2  3  4  5  6  7  8....

sg[x]      0  1  0  1  2  3  2  0  1...


计算从1-n范围内的SG值。

f(存储可以走的步数，f[0]表示可以有多少种走法)

f[]需要从小到大排序

1.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);

2.可选步数为任意步，SG(x) = x;

3.可选步数为一系列不连续的数，用GetSG()计算


上述是自jumping_frog博文的建立SG模板时的解释，稍后我也会做个SG函数的模板。


这道题，有了上述方法，就简单了。
首先建立f数组，就是Fibonacci数列。
然后预处理求1000以内的SG数组，通过模板：
// 获得SG数组函数模板，t代表f数组的个数，n代表要求的sg数组上限
// f数组就是能取的个数（对于此题就是Fibonacci数列
// 有时，对于t已知就不需要单独传参
void get_sg(int t,int n)
{
    int i,j;
    memset(sg,0,sizeof(sg));
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(mex,0,sizeof(mex));
        // 对于属于g(x)后继的数置1
        for( j=1 ;j<=t && fib[j]<=i ;j++ )
            mex[sg[i-fib[j]]]=1;
        // 找到最小不属于该集合的数
        for( j=0 ; j<=n ; j++ )
            if(!mex[j])
                break;
        sg[i] = j;
    }
}


SG的题，很多都可以看成是多个Nim博弈。
然后就可以分析奇异态，非奇异态来确定答案了。
关于，Nim博弈可见博客：http://blog.csdn.net/lttree/article/details/24874819

然后就是此题完整代码：
/************************************************
*************************************************
*        Author:Tree                            *
*From :http://blog.csdn.net/lttree              *
* Title : Fibonacci again and again             *
*Source: hdu 1848                               *
* Hint  : SG                                    *
*************************************************
*************************************************/
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int fib[21];    //fib保存Fibonacci数列
int sg[1001];//sg[]来保存SG值
bool mex[1001];//mex{}
// 构建SG数组，函数各步骤意义详见上面模板
void get_sg(int n)
{
    int i,j;
    memset(sg,0,sizeof(sg));
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(mex,0,sizeof(mex));
        for( j=1 ;fib[j]<=i ;j++ )
            mex[sg[i-fib[j]]]=1;

        for( j=0 ; j<=n ; j++ )
            if(!mex[j])
                break;
        sg[i] = j;
    }
}
int main()
{
    int i,m,n,p;
    // 构建Fibonacci数列
    fib[0]=1,fib[1]=1;
    for(i=2;i<21;++i)   fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
    // 预处理获得sg数组
    get_sg(1000);
    while( scanf("%d%d%d",&m,&n,&p) && m+n+p )
    {
        if( (sg[m]^sg[n]^sg[p])==0 )  printf("Nacci\n");
        else    printf("Fibo\n");
    }
    return 0;
}


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