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[bzoj1013][JSOI2008][球形空间产生器sphere]
Description
有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。
Input
第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。
Output
有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。
Sample Input
20.0 0.0-1.0 1.01.0 0.0
Sample Output
0.500 1.500
HINT
提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B
的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 +
… + (an-bn)^2 )
Solution
这是一个超球球心坐标问题
设球心坐标为(a1,a2,a3,...,an)，球的半径为R
则对于任意一个球上的点(x1,x2,x3,...,xn)，有(x1-a1)^2+(x2-a2)^2+(x3-a3)^2+...+(xn-an)^2=R这样的式子
那么在得知所有点的坐标时，我们对其预处理，用上下两式相减，消去R，得到另一个二次的式子，将二次项坐标系数放到等号右边，其余放在左边相应位置，即构造出了高斯消元用的方程组
剩余的就是gauss消元的模板了，0ms通过评测，程序如下
#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>using namespace std;const int N=15;int n;double pos[N][N],f[N][N];void gauss(){ for(int i=1;i<=n;i++){ int t=i; for(int j=i+1;j<=n;j++) if(fabs(f[j][i])>fabs(f[t][i])) t=j; if(t^i) for(int j=i;j<=n+1;j++) swap(f[i][j],f[t][j]); for(int j=i+1;j<=n;j++){ double x=f[j][i]/f[i][i]; for(int k=i;k<=n+1;k++) f[j][k]-=f[i][k]*x; } } for(int i=n;i>=1;i--){ for(int j=i+1;j<=n;j++) f[i][n+1]-=f[j][n+1]*f[i][j]; f[i][n+1]/=f[i][i]; }}void output(){ for(int i=1;i<=n;i++){ printf("%.3lf",f[i][n+1]); if(i^n) putchar(‘ ‘); else putchar(‘\n‘); }}int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n+1;i++){ for(int j=1;j<=n;j++){ scanf("%lf",&pos[i][j]); if(i^1){ f[i-1][j]=2*(pos[i][j]-pos[i-1][j]); f[i-1][n+1]+=pos[i][j]*pos[i][j]-pos[i-1][j]*pos[i-1][j]; } } } gauss(); output(); return 0;}
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