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BZOJ1013 [JSOI2008] 球形空间产生器sphere
Description
有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在,你被困在了这个n维球体中,你只知道球
面上n+1个点的坐标,你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标,以便于摧毁这个球形空间产生器。
Input
第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行,每行有n个实数,表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位,且其绝对值都不超过20000。
Output
有且只有一行,依次给出球心的n维坐标(n个实数),两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。
Sample Input
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0
Sample Output
HINT
提示:给出两个定义:1、 球心:到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离:设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn),则AB的距离定义为:dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )
题解
这题。。。竟然不忽略行尾空格。。。可恶。。。
言归正传,既然要到各距离相等,且有$n$个未知数,那么我们就要列$n$个方程。
设球心$O: (x, y, ..., w)$,$n+1$个点$P_i : (x_i, y_i, ..., w_i)$,
我们选择$dis(O, P_0) = dis(O, P_i) (0 < i \leq n)$这$n$个方程,即
$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + ... + (w - w_0)^2 = (x - x_i)^2 + (y - y_i)^2 + ... + (w - w_i)^2$$
二项式展开,移项,合并同类项,得:
$$2(x_i - x_0)x + 2(y_i - y_0)y + ... + 2(w_i - w_0)w = x_i^2 - x_0^2 + y_i^2 - y_0^2 + ... + w_i^2 - w_0^2$$
高斯消元即可。
附代码:
#include <algorithm> #include <cstdio> const int N = 15; double A[N][N]; void gauss(int n) { for (int i = 0; i < n; ++i) { int k = i; for (int j = i + 1; j < n; ++j) if (A[j][i] > A[k][i]) k = j; for (int j = i; j <= n; ++j) std::swap(A[i][j], A[k][j]); for (k = i + 1; k < n; ++k) for (int j = n; j >= i; --j) A[k][j] -= A[i][j] * A[k][i] / A[i][i]; } for (int i = n - 1; ~i; --i) { A[i][n] /= A[i][i]; for (int j = i - 1; ~j; --j) A[j][n] -= A[i][n] * A[j][i]; } } double P0[N]; int main() { int n; scanf("%d", &n); for (int i = 0; i < n; ++i) scanf("%lf", &P0[i]); double x; for (int i = 0; i < n; ++i) { A[i][n] = .0; for (int j = 0; j < n; ++j) { scanf("%lf", &x); A[i][j] = 2 * (x - P0[j]); A[i][n] += x * x - P0[j] * P0[j]; } } gauss(n); printf("%.3lf", A[0][n]); for (int i = 1; i < n; ++i) printf(" %.3lf", A[i][n]); printf("\n"); return 0; }
BZOJ1013 [JSOI2008] 球形空间产生器sphere