原题

一根绳子，长度为n米。将其切成几段，每一段的长度都是整数。请给出一种切法，使得切成的各段绳子之间的乘积是最大的。注意，最少要切一下的。

分析

这个题目如何一步一步的分析呢？不管切几段，总有第一段，第二段…等等。第一段的长度有哪些选择呢？可以是1、2、3...一直到n-1（至少要切一下），我们用max_prod(n)表示长度为n的绳子的切法中，乘积最大的值。那么：

1. 当第一段长度为1时，最大的乘积为：max(1×max_prod(n-1), 1×(n-1))

2. 当第一段长度为2时，最大的乘积为：max(2×max_prod(n-2), 2×(n-2))

3. …

4. 当第一段长度为n-1时，最大的乘积为：(n-1)*1=n-1

上面为什么是取max呢？注意，题目中的要求，至少是要切一下的。这样，从上面的分析中得出，递归的表达式，设第一段绳子的长度为i，取 值范围为[1,n-1]，则，对于每一个i，有最大乘积为:max(i×(n-i),i×max_prod(n-i))。然后对所有的i，求的最大值，就 是最终的答案。

这个题目到这里完了么？看过我们以前分析的同学，很快就能想到，进而查看，这些子问题中是否有重复的，如果有，则可以采用动态规划的方法进行算法改 进。而查看是否有重复递归子问题，一个比较好的方法，就是在纸上画出递归树，然后是否有重复的递归子问题。就一目了然了。这个题目是比较明显的，同学们可 以尝试自己在纸上画画，练习一下。

既然，我们已经明确了重复的递归子问题，然后呢？相信专门学习过动态规划专题的同学，都会记得这样的一句话：“自顶向下的分析问题，自底向上的解决 问题”，大概类似，可能并不是原话。自底向上解决问题的意思就是先解决小问题，然后依据这些小问题的结果，再解决一批问题，依次直至解决整个问题：

1. 当绳子的长度为1的时候，忽略，不能切

2. 当绳子的长度为2的时候，切一刀，max_prod[2]=1×1

3. 当绳子的长度为3的时候，切一刀，max_prod[3]=1×2

4. 当绳子的长度为4的时候，依赖前面每一个长度的切法，并且，第一个长度从2开始。

5. …

这个，状态转移方程可以表示为:max_prod[i]=max((i-j)×j, j×max_prod[i-j])，其中j的范围是[1,i/2]。显然，动态规划方法的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。

int maxMult(int n)
{
	vector<int> dp(n+1,1);
	int len,i;
	for (len = 3;len <= n;len++)
	{
		for (i = 1;i < len;i++)
		{
			int t = max(dp[len-i],len-i)*i;//dp[len-i]可能小于(len-i)，因为dp[len-i]表示长度为len-i的分割乘积的最大值，但len-i是没有分割的，两者不重合
			dp[len] = max(dp[len],t);
		}
	}
	return dp[n];
}

这个问题，到这里，已经挺不错的。不过，还没完，这个题目是有更加巧妙的方法的。在微博上，有的同学给出了如下的方法：只需要将长度n表示为 3x+2y=n，并且3尽可能的多，这样的3^x+2^y是最大的。不得不赞叹，这确实是一个很巧妙的方法。大家可以通过例子，验证几个。为什么只有3和 2呢？长度为4的，就是2×2，5以上的，都可以分解为3x+2y，并且3^x+2^y>5以上的数字。这个题目要求是整数，如果取消这个限制呢？ 拓展思路，举一反三，请大家多多思考。

待字闺中之最大乘积分析