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【BZOJ3670】【NOI2014】动物园 [KMP][倍增]

动物园

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Description

  近日,园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅,只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气,让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的,园长决定开设算法班,让动物们学习算法。
  某天,园长给动物们讲解KMP算法。
  园长:“对于一个字符串S,它的长度为L。我们可以在O(L)的时间内,求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗?”
  熊猫:“对于字符串S的前i个字符构成的子串,既是它的后缀又是它的前缀的字符串中(它本身除外),最长的长度记作next[i]。”
  园长:“非常好!那你能举个例子吗?”
  熊猫:“例S为abcababc,则next[5]=2。因为S的前5个字符为abcab,ab既是它的后缀又是它的前缀,并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理,还可得出next[1] = next[2] = next[3] = 0,next[4] = next[6] = 1,next[7] = 2,next[8] = 3。”
  园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后,他详细讲解了如何在O(L)的时间内求出next数组。
  下课前,园长提出了一个问题:“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串S的前i个字符构成的子串,既是它的后缀同时又是它的前缀,并且该后缀与该前缀不重叠,将这种字符串的数量记作num[i]。例如S为aaaaa,则num[4] = 2。这是因为S的前4个字符为aaaa,其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’,同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’,但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了,所以不能计算在内。同理,num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2。”
  最后,园长给出了奖励条件,第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话,睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了!但企鹅并不会做这道题,于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出num数组呢?
  特别地,为了避免大量的输出,你不需要输出num[i]分别是多少,你只需要输出技术分享对1,000,000,007取模的结果即可。

  技术分享

Input

  第1行仅包含一个正整数n ,表示测试数据的组数。随后n行,每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串S,S的定义详见题目描述。数据保证S 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行,行末不会存在多余的空格。

Output

  包含 n 行,每行描述一组测试数据的答案,答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据,仅需要输出一个整数,表示这组测试数据的答案对 1,000,000,007 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

Sample Input

  3
  aaaaa
  ab
  abcababc

Sample Output

  36
  1
  32

HINT

  n≤5 , L≤1,000,000

Main idea

  定义一种前缀,这个前缀和后缀一样并且没有交集,num[i]为前i位有多少个这样的前缀,求题目中的式子。

Source

  看到这道题,我们一眼想到了从KMP的角度开始考虑。

  然后我们想到了怎么暴力,显然就是把 fail[i]->i ,然后对于每个 i 的 num[i] ,一步步往上跳直到符合条件位置,那个位置的dep也就是num[i]。

  我们想想这个过程优化吗?答案显然是可以的!我们运用倍增

  怎么倍增呢?直接从小到大枚举,可行就跳不一定最优。那么我们逆向思维,这么来想:一个点往上跳,跳到的最上面的不可行的位置上一个显然就是最下面的可行的位置,那么我们可以从大到小枚举然后不合法的话往上跳,最后再跳一步即可。

  由于这是带log的做法,我们要卡卡常,这里有一个小技巧:把数组最右边的那一维连续的话访问效率更高

Code

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 1 #include<iostream>     2 #include<string>     3 #include<algorithm>     4 #include<cstdio>     5 #include<cstring>     6 #include<cstdlib>     7 #include<cmath> 8 #include<bitset> 9 using namespace std;  10 typedef long long s64;11   12 const int ONE=1000005;13 const int MOD=1000000007;14   15 int T;16 int n;17 char a[ONE];18 int fail[ONE];19 int LOG[ONE],f[21][ONE],Dep[ONE];20 int Ans;21   22 int get()23 {    24         int res=1,Q=1;char c;    25         while( (c=getchar())<48 || c>57 ) 26         if(c==-)Q=-1; 27         res=c-48;     28         while( (c=getchar())>=48 && c<=57 )    29         res=res*10+c-48;    30         return res*Q;    31 }32   33 void Deal_KMP(char a[])34 {35         int j=0;36         Dep[1]=1;37         for(int i=2;i<=n;i++)38         {39             while(a[j+1] != a[i] && j) j=fail[j];40             if(a[j+1] == a[i]) j++;41             fail[i] = j;42             f[0][i] = j;  Dep[i] = Dep[j]+1;43         }44 }45   46 void Dfs()47 {48         for(int u=1;u<=n;u++)49         for(int i=0;i<=LOG[Dep[u]];i++)50         f[i+1][u] = f[i][f[i][u]];51 }52   53 int Deal_Ans(int x,int Limit)54 {55         for(int i=LOG[Dep[x]];i>=0;i--)56         if(f[i][x] > Limit) x = f[i][x];57         return Dep[f[0][x]]; 58 }59   60 int main() 61 {62         T=get();63         for(int i=2;i<=ONE-1;i++) LOG[i]=LOG[i>>1]+1;64         while(T--)65         {66             scanf("%s",a+1);    n=strlen(a+1);67             Deal_KMP(a);        Dfs();68               69             Ans=1;70             for(int i=1;i<=n;i++)71             {72                 Ans = (s64)Ans * ( Deal_Ans(i,i>>1)+1 ) % MOD;73             }74                   75             printf("%d\n",Ans);76         }77 }
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