(from M.J. Shu) 已知二次型 $$\bex f(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2+2bxy+2xz+2yz \eex$$ 的秩是 $2$, 求参数 $b$, 并指出方程 $$\bex f(x,y,z)=4 \eex$$ 表示什么曲面?

解答: 由 $f$ 的矩阵 $$\bex A=\sex{\ba{ccc} 1&b&1\\ b&3&1\\ 1&1&1 \ea} \rra\sex{\ba{ccc} 1&b&1\\ b-1&3-b&0\\ 0&1-b&0 \ea} \eex$$ 的秩为 $2$ 知 $b=1$. 此时, $$\bex A=\sex{\ba{ccc} 1&1&1\\ 1&3&1\\ 1&1&1 \ea}. \eex$$ 由 $$\bex |\lm E-A|=\lm (\lm-1))(\lm-4) \eex$$ 知 $f$ 可经过正交线性变换化为 $$\bex f(x_1,x_2,x_3)=y_2^2+4y_3^2. \eex$$ 故 $$\bex 4=f(x_1,x_2,x_3)=y_2^2+4y_3^2 \eex$$ 为椭圆柱面. 

[再寄小读者之数学篇](2014-10-14 二次型与曲面分类)