(来自质数) 设A,B<script id="MathJax-Element-1" type="math/tex"> A,B </script> 都是实数域上的两个二阶方阵, 且 AB=BA<script id="MathJax-Element-2" type="math/tex">AB=BA</script>.  证明：对于任意实数 x,y,z<script id="MathJax-Element-3" type="math/tex">x,y,z</script>,有

4xzdet(xA2+yAB+zB2)≥(4xz?y2)(xdet(A)?zdet(B))2

<script id="MathJax-Element-4" type="math/tex; mode=display"> 4xz\det(xA^2+yAB+zB^2)\geq (4xz-y^2)(x\det(A)-z\det(B))^2 </script>

证明: (来自 torsor) 因为 A,B<script id="MathJax-Element-5" type="math/tex">A,B</script> 可交换, 所以在复数域上它们可以同时上角化. 这一结论可以参考复旦高代教材第六章总复习题18, 注意 A,B<script id="MathJax-Element-6" type="math/tex">A,B</script> 的特征值一般是复数, 所以这一结论一般来说只能在复数域上成立. 设 P<script id="MathJax-Element-7" type="math/tex">P</script> 为二阶可逆复方阵, 使得

<script id="MathJax-Element-8" type="math/tex; mode=display">P^{-1}AP=\begin{bmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix},\, P^{-1}BP=\begin{bmatrix} \mu_1 & * \\ 0 & \mu_2 \end{bmatrix}. \cdots\cdots (1)</script> 在要证明不等式的左边左乘 |P?1|<script id="MathJax-Element-9" type="math/tex">|P^{-1}|</script>, 右乘 |P|<script id="MathJax-Element-10" type="math/tex">|P|</script>, 利用 (1) 式可将要证的不等式化为以下不等式: <script id="MathJax-Element-11" type="math/tex; mode=display">4xz(\lambda_1^2x+\lambda_1\mu_1y+\mu_1^2z)(\lambda_2^2x+\lambda_2\mu_2y+\mu_2^2z) \geq (4xz-y^2)(\lambda_1\lambda_2x-\mu_1\mu_2z)^2. \cdots\cdots (2)</script> 将 (2) 式的左边减去右边, 并进行化简可得: <script id="MathJax-Element-12" type="math/tex; mode=display">\mathrm{LHS}-\mathrm{RHS}=\Big(2xz(\lambda_1\mu_2+\lambda_2\mu_1)+y(|A|x+|B|z)\Big)^2. \cdots\cdots (3)</script> 现在只要说明 λ1μ2+λ2μ1<script id="MathJax-Element-13" type="math/tex">\lambda_1\mu_2+\lambda_2\mu_1</script> 是实数, 即可得到 (3) 式对任意的实数 x,y,z<script id="MathJax-Element-14" type="math/tex">x,y,z</script> 都是非负的, 从而证明了不等式 (2) 以及原来的不等式. 注意到 <script id="MathJax-Element-15" type="math/tex; mode=display">\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(P^{-1}ABP)=\mathrm{tr}\Big((P^{-1}AP)(P^{-1}BP)\Big)=\lambda_1\mu_1+\lambda_2\mu_2,</script> 又 <script id="MathJax-Element-16" type="math/tex; mode=display">\mathrm{tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2,\,\mathrm{tr}(B)=\mu_1+\mu_2,</script> 因此 λ1μ2+λ2μ1=tr(A)tr(B)?tr(AB)<script id="MathJax-Element-17" type="math/tex">\lambda_1\mu_2+\lambda_2\mu_1=\mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)-\mathrm{tr}(AB)</script> 是实数.