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扩展欧几里得求最小非负整数解 （POJ 1061 青蛙约会为例）

2024-07-05 21:02:44   223人阅读

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4


另t为总次数，列出方程： （m-n）*t+l*k=y-x 。其中k为整数。再另a=m-n , b=l , c=y-x , xx=t , yy=k。题目就变成了标准的扩展欧几里得形式。

题目存在一个隐含条件，就是所求的次数xx必须是最小非负整数。

设a,b,c为任意整数，g=gcd(a,b)，方程ax+by=g的一组解释（x0，y0），则当c是g的倍数时ax+by=c的一组解释（x0*c/g , y0*c/g），当c不是g的倍数时无整数解。

首先用扩展欧几里得求出 ax+by=gcd(a,b)。解得xx再乘（c/gcd(a,b)），就得到了一个解。由一定理：若gcd(a, b) = d，则方程ax+by=c,在[0, b/d - 1]上有唯一解。

可求出最终的非负且最小的xx。

以上就是总结出的求扩展欧几里得的其中的x的最小非负整数解。


#include<stdio.h>
typedef long long LL;
LL egcd(LL a,LL b,LL& d,LL& xx,LL& yy) {
    if(!b) d=a,xx=1,yy=0;
    else { egcd(b,a%b,d,yy,xx); yy-=xx*(a/b); }
}
int main()
{
    LL x,y,m,n,l,xx,yy,d;
    scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l);
    LL a=m-n,b=l,c=y-x;
    if(a<0) a=-a,c=-c;   //保证了a,b,d,为正
    egcd(a,b,d,xx,yy);  //扩展欧几里得
    if(c%d!=0) printf("Impossible\n");  
    else {
        xx=xx*(c/d);  //扩大c/d倍
        b/=d;
        xx=(xx%b+b)%b; //在[ 0 , b/d -1] 内有唯一解。
        printf("%I64d",xx);
    }
    return 0;
}





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