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[ACM] POJ 1061青蛙的约会（扩展欧几里得求模线性方程）

2024-07-14 15:01:58   226人阅读

青蛙的约会
Time Limit: 1000MS Memory Limit: 10000K
Total Submissions: 89206 Accepted: 15926

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

Source

浙江


解题思路：

两只青蛙向同一方向跑，且最后相遇，那么所有的长度之差一定是总长的整数倍，即有 （x+m*t ) -  (y+ n*t)=kL ,x为第一只青蛙的起点，m为其速度，y为第二只青蛙的起点，n为其速度。

x+mt-y-nt=kL

x-y+(m-n)*t=kL

(m-n)*t - kL = y-x

(m-n)t=(y-x)(mod L) 

我们要求的是t，用扩展欧几里得就可以了，如果 (y-x)%gcd(m-n,L) !=0,则无解。

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll s1,s2,m,n,L;

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return d;
}

int main()
{
    cin>>s1>>s2>>m>>n>>L;
    ll a=m-n;
    ll b=s2-s1;
    ll x,y;
    ll d=exgcd(a,L,x,y);
    if(b%d!=0)
        cout<<"Impossible"<<endl;
    else
    {
        ll x0;
        x0=(x*b/d)%L;
        ll ans=x0,s=L/d;
        ans=(ans%s+s)%s;
        if(ans<0)
            ans=(ans+L)%L;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}




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