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bzoj3930 [CQOI2015]选数

2024-10-05 05:56:01   215人阅读

Description

 我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

Input

输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。

Output

输出一个整数，为所求方案数。

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

3

HINT

 样例解释

所有可能的选择方案：(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)
其中最大公约数等于2的只有3组：(2, 2), (2, 4), (4, 2)
对于100%的数据，1≤N,K≤10^9，1≤L≤H≤10^9，H-L≤10^5

 

正解：莫比乌斯反演+杜教筛。

看到$PoPoQQQ$设了两个函数，于是照着模仿，自己推了一下。。

设$f(k)$表示$[l,r]$中选数，$gcd=d$的方案数。

设$g(k)$表示$[l,r]$中选数，$d|gcd$的方案数，易知$g(k)=(\left \lfloor \frac{r}{k} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{l-1}{k} \right \rfloor)^{n}$。

因为$g(k)=\sum_{k|d}f(d)$，由莫比乌斯反演，$f(k)=\sum_{k|d} \mu(\frac{d}{k})g(i)$。

令$d=kQ$，$f(k)=\sum_{Q=1}^{\left \lfloor \frac{r}{k} \right \rfloor}\mu(Q)(\left \lfloor \frac{r}{kQ} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{l-1}{kQ} \right \rfloor)^{n}$。

此时我们可以把$l-1,r$同除以$k$，用杜教筛求出莫比乌斯函数的前缀和，然后数论分块就能计算出答案了。

 

 1 //It is made by wfj_2048~ 2 #include <algorithm> 3 #include <iostream> 4 #include <cstring> 5 #include <cstdlib> 6 #include <cstdio> 7 #include <vector> 8 #include <cmath> 9 #include <queue>10 #include <stack>11 #include <map>12 #include <set>13 #define rhl (1000000007)14 #define N (3000010)15 #define inf (1<<30)16 #define il inline17 #define RG register18 #define ll long long19 #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)20 21 using namespace std;22 23 int mu[N],vis[N],prime[N],n,k,l,r,cnt,maxn;24 ll ans;25 26 map <int,int> f,vi;27 28 il int gi(){29     RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();30     while ((ch<‘0‘ || ch>‘9‘) && ch!=‘-‘) ch=getchar();31     if (ch==‘-‘) q=-1,ch=getchar();32     while (ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-48,ch=getchar();33     return q*x;34 }35 36 il ll qpow(RG ll a,RG ll b){37     RG ll ans=1;38     while (b){39     if (b&1) ans=ans*a%rhl;40     a=a*a%rhl,b>>=1;41     }42     return ans;43 }44 45 il void sieve(){46     mu[1]=1;47     for (RG int i=2;i<=maxn;++i){48     if (!vis[i]) prime[++cnt]=i,mu[i]=rhl-1;49     for (RG int j=1,k;j<=cnt;++j){50         k=i*prime[j]; if (k>maxn) break; vis[k]=1;51         if (i%prime[j]) mu[k]=rhl-mu[i]; else break;52     }53     }54     for (RG int i=2;i<=maxn;++i){55     mu[i]+=mu[i-1]; if (mu[i]>=rhl) mu[i]-=rhl;56     }57     return;58 }59 60 il ll du(RG int n){61     if (n<=maxn) return mu[n]; if (vi[n]) return f[n];62     RG ll ans=1; RG int pos; vi[n]=1;63     for (RG int i=2;i<=n;i=pos+1){64     pos=n/(n/i),ans-=(ll)(pos-i+1)*du(n/i)%rhl;65     if (ans<0) ans+=rhl;66     }67     return f[n]=ans;68 }69 70 il void work(){71     n=gi(),k=gi(),l=(gi()-1)/k,r=gi()/k,maxn=min(3000000,r),sieve();72     for (RG int q=1,p,pos;q<=r;q=pos+1){73     p=l/q; if (!p) pos=r/(r/q); else pos=min(l/(l/q),r/(r/q));74     (ans+=(du(pos)-du(q-1)+rhl)*qpow(r/q-l/q,n))%=rhl;75     }76     printf("%lld\n",ans); return;77 }78 79 int main(){80     File("number");81     work();82     return 0;83 }

 

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