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【数学】CSU 1810 Reverse (2016湖南省第十二届大学生计算机程序设计竞赛)

题目链接:

  http://acm.csu.edu.cn/OnlineJudge/problem.php?id=1810

题目大意:

  一个长度为N的十进制数,R(i,j)表示将第i位到第j位翻转过来后的数字,求技术分享mod 109+7

题目思路:

  【数学】

  这题换一种思路,看每个数字能够对答案的贡献情况。(可以手推01,10,001,010,100.....,也可以像我一样写个暴力打个10以内的表看看规律)

  现在先考虑位置为i的数字为1的情况(最后乘上这个数字就行)。可以发现贡献是对称的(第i位的1和第(n-i+1)的1其实换到其他位置上的次数是一样的,所以只用考虑i<=n/2的情况)

  第i位的1留在i位的情况有三种,i左边的区间交换,i右边的区间交换,以i为中心的区间交换。这些交换次数都可以通过O(1)得到。

  而i能交换到其他位置的答案也很好推,交换到第一位只有区间[1,i],交换到第二位有区间[1,i+1],[2,i],第三位.....

  可以发现交换到前i个的次数是1,2,...i-1,i,i,...,i,i,i-1,...,2,1(后一半和前一半是对称的)(从1到i,i持平,从i回到1)

  而前面和后面的递增序列对最终答案的影响可以通过预处理计算出(后面是:1+2*10+3*100...前面类似,记得带上10的幂次),而中间的持平也可以通过前缀和求出(10的幂次区间和*i)

  所以这题就可以做了。枚举每一位i,将它对答案的贡献按照上面的累加起来。

 

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