【BZOJ2839】集合计数

【样例说明】
假设原集合为{A,B,C}
则满足条件的方案为：{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}
【数据说明】
     对于100%的数据，1≤N≤1000000；0≤K≤N；

题解：容斥，考虑选出若干集合使得交集至少为k的方案数，有$f(i)=C _n^i \times (2^{2^{n-i}}-1)$，可以理解为已经选定了i个，剩下$2^{n-i}$个集合，每个可以选或不选，但是不能一个也不选。但是这样做肯定会有重复的，我们思考容斥系数是什么。

当我们计算交集至少为k的时候，每个交集为j的方案都会被计算$C_j^k$次，所以
f(k)的系数是1
f(k+1)的系数是$-C_{k+1}^k$
f(k+2)的系数$-C_{k+2}^k+C_{k+1}^kC_{k+2}^{k+1}=C_{k+2}^k$（小tips:$C_N^MC_M^S=C_N^SC_{N-S}^{N-M}$）

以此类推，f(i)的系数就是$(-1)^{i-k}C_i^k$。

所以答案为$\sum\limits_{i=k}^n(-1)^{i-k}C_i^kC_n^i(2^{2^{n-i}}-1)$

求组合数需要线性筛逆元，方法：$i^{-1}\equiv\lfloor{p\over i}\rfloor\times(p\%i)^{-1}(\mod p)$

求$(2^{2^i}-1)$可以采用从n到k枚举i的方法，初值tmp=1，然后tmp=tmp*(tmp+2)。

#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;typedef long long ll;const ll mod=1000000007;ll n,k,ans;ll ine[1000010],jcc[1000010],jc[1000010];ll c(ll x,ll y){	return jc[x]*jcc[y]%mod*jcc[x-y]%mod;}int main(){	scanf("%lld%lld",&n,&k);	ll i,j,flag,tmp;	ine[1]=jc[1]=jcc[1]=jc[0]=jcc[0]=1;	for(i=2;i<=n;i++)	{		ine[i]=(mod-(mod/i)*ine[mod%i])%mod;		jcc[i]=jcc[i-1]*ine[i]%mod;		jc[i]=jc[i-1]*i%mod;	}	for(i=n,flag=((n-k)&1)?-1:1,tmp=1;i>=k;i--)	{		ans=(ans+mod+flag*c(i,k)*c(n,i)%mod*tmp%mod)%mod;		flag=-flag,tmp=tmp*(tmp+2)%mod;	}	printf("%lld",ans);	return 0;}