证明：由连续函数的最值定理知，存在$\xi  \in \left[ {a,b} \right]$，使得

f(ξ )=maxx∈[a,b]f(x)=M

从而由$f\left( x \right) \in C\left[ {a,b} \right]$知，$f\left( x \right)$在点$\xi $连续，则对任给$\varepsilon  > 0$，存在$\delta  > 0$，使得对任意$x \in \left( {\xi  - \delta ,\xi  + \delta } \right) \cap \left[ {a,b} \right]$，有

|f(x)?f(ξ )|<ε

即有$f\left( x \right) > M - \varepsilon $，令${a_n} = \sqrt[n]{{\int_a^b {{f^n}\left( x \right)} dx}}$，从而可知

an≥(∫ξ +δξ ?δ(M?ε)ndx)1n=(M?ε)(2δ)1n→M?ε(n→∞)

an≤(∫baMndx)1n=M(b?a)1n→M(n→∞)

M?ε ≤lim???n→∞an≤limˉˉˉˉˉn→∞an≤M

$\bf注1：$我们由$\bf{H\ddot older不等式}$可知${a_n} = \sqrt[n]{{\int_a^b {{f^n}\left( x \right)} dx}}$是单调递增的

$\bf注2：$我们同理可证

$\bf命题：$设正值函数$f\left( x \right),g\left( x \right) \in C\left[ {a,b} \right]$，则

limn→∞∫bafn(x)g(x)dx?????????????√n=maxx∈[a,b]f(x)