$\bf命题2：$设$f\left( x \right) \in C\left( { - \infty , + \infty } \right)$，令

fn(x)=∑k=0n?11nf(x+kn)

证明：对任意$x \in \left[ {a,b} \right] \subset \left( { - \infty , + \infty } \right)$，有${f_n}\left( x \right)$一致收敛于$\int_0^1 {f\left( {x + t} \right)dt}$

证明：由$f\left( x \right) \in C\left( { - \infty , + \infty } \right)$知，$f\left( x \right) \in C\left[ {a,b} \right]$，则

由$\bf{Cantor定理}$知，$f\left( x \right)$在$\left[ {a,b} \right]$上一致连续，即对任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对任意的$x,y \in \left[ {a,b} \right]$满足$\left| {x - y} \right|
< \delta $时，有

|f(x)?f(y)|<ε

∣∣∣(x+kn)?(x+t)∣∣∣<δ

从而有

∣∣∣f(x+kn)?f(x+t)∣∣∣<ε

所以对任意$\varepsilon > 0$，存在$N = \frac{1}{\delta } > 0$，使得当$n > N$时，对任意$x \in \left[ {a,b} \right]$，有

∣∣∣fn(x)?∫10f(x+t)dt∣∣∣=∣∣∣∣∑k=0n?1∫k+1nkn[f(x+kn)?f(x+t)]dt∣∣∣∣<ε

$\bf注1：$$\int_0^1 {f\left( {x + t} \right)dt} {\rm{ = }}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{{k + 1}}{n}} {f\left( {x + t} \right)dt} } $