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NOIP2007 矩阵取数游戏
【问题描述】
帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n*m 的矩阵，矩阵中的每个元素aij均
为非负整数。游戏规则如下：
1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共n个。m次后取完矩阵所有元素；
2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分= 被取走的元素值*2i，
其中i 表示第i 次取数（从1 开始编号）；
4. 游戏结束总得分为m次取数得分之和。
帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。
输入描述 Input Description
第1行为两个用空格隔开的整数n和m。
第2~n+1 行为n*m矩阵，其中每行有m个用单个空格隔开的非负整数。
输出描述 Output Description
输出 仅包含1 行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。
样例输入 Sample Input
2 3
1 2 3
3 4 2
样例输出 Sample Output
82
数据范围及提示 Data Size & Hint
样例解释
第 1 次：第1 行取行首元素，第2 行取行尾元素，本次得分为1*21+2*21=6
第2 次：两行均取行首元素，本次得分为2*22+3*22=20
第3 次：得分为3*23+4*23=56。总得分为6+20+56=82
【限制】
60%的数据满足：1<=n, m<=30, 答案不超过1016
100%的数据满足：1<=n, m<=80, 0<=aij<=1000
分析
这道题的最优子结构性质&子问题重叠都非常明显，很容易写出区间动规的状态转移方程：FL,i,j = max{(FL,i-1,j + 2x*aL,i-1), (FL,i,j+1+
2x*aL,j+1)}
证明比较简单，这里不作为讨论重点。。。再来看数据范围，m最大可达80，ai,j最大可达1000，明显超过了int64的范围（听Pascal党说还有int128这种数据类型？），我们c++没办法，只好高精度压位。。考虑到“乘法”中只有“高精度*int”这里可以把乘法无耻地改成倍增→_→排除了乘法，压位的时候不妨多压几位节约资源（实测结果：压8位高精开5位耗时375ms）
1 #include <cstdio>
2 #define MOD 100000000
3 using namespace std;
4 int M[81][81]={0}, n, m;
5 struct big
6 {
7 int num[5], len;
8 big() { len = 1;num[0]=0; }
9 big(int k) {
10 len = 1, num[0]=k % MOD, k/=MOD;
11 while(k)
12 num[len++] = k % MOD, k /= MOD;
13 }
14 big& operator+=(const big& b) {
15 int m=0,i;
16 for(i=0;i<len || i<b.len || m;++i) {
17 if(i<len) m += num[i];
18 if(i<b.len) m += b.num[i];
19 num[i] = m % MOD;
20 m /= MOD;
21 }
22 if(i > len)len = i;
23 return *this;
24 }
25 big operator +(const big& b) {
26 big ans = *this;ans += b;
27 return ans;
28 }
29 big operator *(int b)const {
30 big ans = 0,k = *this;
31 while(b) {
32 if(b&1)ans += k;
33 k += k;
34 b >>= 1;
35 }
36 return ans;
37 }
38 bool operator >(const big& b)const {
39 if(len!=b.len)return len > b.len;
40 int i = len;
41 while(--i>=0)
42 if(num[i]!=b.num[i])return num[i] > b.num[i];
43 return 0;
44 }
45 }s[81][81];
46 int main()
47 {
48 int i,j,t;
49 scanf("%d%d",&n,&m);
50 big Ans, po2[81]={1};
51 for(i=1;i<=m;++i)
52 po2[i] = po2[i-1]*2;
53 for(i=0;i<n;++i)
54 for(j=0;j<m;++j)
55 scanf("%d",M[i]+j);
56 for(t=0;t<n;++t) {
57 big temp,ans;
58 s[0][m] = 0;
59 for(j = m-1;j>=0;--j)
60 s[0][j] = s[0][j+1] + po2[m-j] * M[t][j];
61 ans = s[0][0];
62 for(i = 1;i <= m;++i)
63 s[i][m] = s[i-1][m] + po2[i] * M[t][i-1];
64 if(s[m][m] > ans)ans = s[m][m];
65 for(i = 1;i < m;++i) {
66 for(j = m-1;j>=i;--j) {
67 if(s[i-1][j]+po2[m+i-j]*M[t][i-1] > s[i][j+1]+po2[m+i-j]*M[t][j])
68 s[i][j] = s[i-1][j]+po2[m+i-j]*M[t][i-1];
69 else s[i][j] = s[i][j+1]+po2[m+i-j]*M[t][j];
70 }
71 if(s[i][i] > ans)ans = s[i][i];
72 }
73 Ans += ans;
74 }
75 i = Ans.len;
76 printf("%d",Ans.num[--i]);
77 while(i)
78 printf("%08d",Ans.num[--i]);
79 return 0;
80 }