问题：设$A$是一个实数域上$n \times n$的方阵,证明:
\[ \sum_{j=1}^n \frac{|a_{jj}|}{|a_{1j}|+ |a_{2j}| + \cdots + |a_{nj}|} \le \mathrm{r} (A) \]

其中,当某项的分母为$0$时，认为此项也为0.

证明：

由于我们可以将矩阵的每一列均乘以一个非零数,使得矩阵的秩不变.因此,我们可以使得$|a_{1j}|+ |a_{2j}| + \cdots + |a_{nj}| = 1$或$0$,并且$a_{jj} \ge 0$.
从而此时
\[ \sum_{j=1}^n \frac{|a_{jj}|}{|a_{1j}|+ |a_{2j}| + \cdots + |a_{nj}|} = \sum_{j=1}^n a_{jj} = \mathrm{tr}(A) \]
而我们证明:如果一个矩阵每列数的绝对值之和均不超过1,则该矩阵每个特征值的模长均不超过1.事实上,设$\lambda$为$A$的一个特征值,从而
$Ax = \lambda x \Rightarrow |\lambda x_i| = \displaystyle \left| \sum_{j=1}^n a_{ij}x_j \right| \le \sum_{j=1}^n |a_{ij}||x_j|,i = 1,\cdots,n$
从而
\[ |\lambda| \sum_{i=1}^n |x_i| \le \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n |a_{ij}||x_j| \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^n |a_{ij}||x_j| \right) \le \sum_{j=1}^n |x_j|\]
从而$|\lambda| \le 1$

于是$\mathrm{tr}(A) = \sum \lambda_i \le \sum |\lambda_i| \le \mathrm{r}(A)$
其中,最后一步是因为不为$0$的特征值的个数等于矩阵的秩,而每个不为$0$的特征值的模长均小于1.

高等代数问题1