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[BZOJ2440][中山市选2011]完全平方数

2024-09-14 19:13:01   218人阅读

Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。 
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。 
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。 
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。 

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

 对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9,  T ≤ 50

 

 

这题是莫比乌斯函数的一个应用吧。

首先将其转换为一个判定性的问题，判断小于k的不含完全平方因子的数有多少个。

那么我们发现对于这个是个容斥原理，比如4我们要-1，9我们要-1，36的时候就被算两遍，这样就要减掉，而观察它的开方是符号莫比乌斯函数，所以我们就可以搞了。

莫比乌斯函数是积性函数，可以用线性筛法算，所以复杂度是O(log n*√n)的。

代码：

 

/**************************************************************
    Problem: 2440
    User: waz
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:5560 ms
    Memory:1992 kb
****************************************************************/
 
#include <cstdio> 
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
 
const int maxn = 100010;
 
int prime[maxn], mu[maxn], flag[maxn], pt;
 
void init() {
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= maxn; i++) {
        if(!flag[i]) {
            prime[++pt] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 1; j <= pt && prime[j]*i <= maxn; j++) {
            flag[prime[j]*i] = 1;
            mu[prime[j]*i]=mu[i]*mu[prime[j]];
            if(i%prime[j] == 0)
                mu[prime[j]*i] = 0;
        }
    }
}
 
int t; long long k;
//求解出小于等于x的数有多少无完全平方因子的数 
long long get(long long x) {
    long long res = 0;
    for(long long i = 1; i*i <= x; i++) res += mu[i]*x/(i*i);
    return res;
}
 
int main() {
    init();
    //int test = 2; printf("get(%d) = %d , %d\n", test, get(test), mu[test]);
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        scanf("%lld", &k);
        long long l = 1, r = 3000000000ll;
        while(l < r) {
            long long mid = l+r>>1;
            if(get(mid) < k)
                l = mid + 1;
            else r = mid;
        }
        printf("%lld\n", l);
    }
    return 0;
}

　　

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