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UESTC 288 青蛙的约会 扩展GCD

2024-07-10 01:35:56   222人阅读

设两只青蛙跳了t步，则此时A的坐标：x+mt，B的坐标：y+nt。要使的他们在同一点，则要满足: x+mt - (y+nt) = kL (p是整数)

化成： (n-m)t + kL = x-y (L > 0)  则变成求解同余方程： (n-m)t ≡ (x-y) mod L  ,用扩展gcd解决。 且此时当 (x-y) % gcd(n-m,L) == 0 时才有解。

解同余方程ax+by = m时，假设我们已经求出了一对x0,y0，则 x0 = x*m/gcd(a,b) ,此时x0可能不是正整数，更不一定是最小正整数解，所以还需进一步处理。

令g = gcd(a,b), 对 a*x0 + b*y0 = d , 有 (a/g)*x0 +(b/g)*y0 = d/g 再变形：(a/g)(x0 + k*(b/g)) + (b/g)(y0 - k*(a/g)) = d/g 仍然成立，根据k的值可以找出所有的解，所以，x = x0+k(b/g) , 令b/g = t, 则 x = x0 + kt, 所以可以通过 x = (x0%t + t)%t 求得最小正整数解x。

Tips：为了避免gcd(n-m,L)变成负数，首先判断一下n-m的正负性，如果为负，则n-m取反成m-n，此时x-y取反成y-x，仍可求得正确结果。

代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>#define Mod 1000000007#define SMod 10007#define lll __int64#define ll long longusing namespace std;#define N 1000007ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){    if(!b)    {        x = (ll)1,y = (ll)0;        return a;    }    ll r = exgcd(b,a%b,x,y);    ll t = x;    x = y;    y = t - a/b*y;    return r;}ll gcd(ll a,ll b){    if(!b)        return a;    return gcd(b,a%b);}int main(){    ll x,y,m,n,L;    ll kx,ky;    //freopen("1.txt","r",stdin);    //freopen("2.txt","w",stdout);    while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L)!=EOF)    {        ll nm = n-m;        ll delta = x-y;        if(nm < 0)        {            nm = m-n;            delta = y-x;        }        ll d = exgcd(nm,L,kx,ky);        if(delta%d)        {            puts("Impossible");            continue;        }        ll t = L/d;        //printf("%lld\n",t);        ll res = (((delta/d)*kx)%t + t)%t;        printf("%lld\n",res);    }    return 0;}
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