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最小二乘法多项式曲线拟合原理与实现
概念
最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。
原理
[原理部分由个人根据互联网上的资料进行总结，希望对大家能有用]
给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。
常见的曲线拟合方法:
1.使偏差绝对值之和最小
2.使偏差绝对值最大的最小
3.使偏差平方和最小
按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程：
1. 设拟合多项式为：
2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：
3. 为了求得符合条件的a值，对等式右边求ai偏导数，因而我们得到了：
.......
4. 将等式左边进行一下化简，然后应该可以得到下面的等式：
.......
5. 把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：
6. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:
7. 也就是说X*A=Y，那么A = (X‘*X)-1*X‘*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。
实现
运行前提:
- Python运行环境与编辑环境；
- Matplotlib.pyplot图形库，可用于快速绘制2D图表，与matlab中的plot命令类似，而且用法也基本相同。
代码:
1 # coding=utf-8 2 3 ‘‘‘‘‘ 4 程序:多项式曲线拟合算法 5 ‘‘‘ 6 import matplotlib.pyplot as plt 7 import math 8 import numpy 9 import random 10 11 fig = plt.figure() 12 ax = fig.add_subplot(111) 13 14 #阶数为9阶 15 order=9 16 17 #生成曲线上的各个点 18 x = numpy.arange(-1,1,0.02) 19 y = [((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2) for a in x] 20 #ax.plot(x,y,color=‘r‘,linestyle=‘-‘,marker=‘‘) 21 #,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5" 22 23 #生成的曲线上的各个点偏移一下，并放入到xa,ya中去 24 i=0 25 xa=[] 26 ya=[] 27 for xx in x: 28 yy=y[i] 29 d=float(random.randint(60,140))/100 30 #ax.plot([xx*d],[yy*d],color=‘m‘,linestyle=‘‘,marker=‘.‘) 31 i+=1 32 xa.append(xx*d) 33 ya.append(yy*d) 34 35 ‘‘‘‘‘for i in range(0,5): 36 xx=float(random.randint(-100,100))/100 37 yy=float(random.randint(-60,60))/100 38 xa.append(xx) 39 ya.append(yy)‘‘‘ 40 41 ax.plot(xa,ya,color=‘m‘,linestyle=‘‘,marker=‘.‘) 42 43 44 #进行曲线拟合 45 matA=[] 46 for i in range(0,order+1): 47 matA1=[] 48 for j in range(0,order+1): 49 tx=0.0 50 for k in range(0,len(xa)): 51 dx=1.0 52 for l in range(0,j+i): 53 dx=dx*xa[k] 54 tx+=dx 55 matA1.append(tx) 56 matA.append(matA1) 57 58 #print(len(xa)) 59 #print(matA[0][0]) 60 matA=numpy.array(matA) 61 62 matB=[] 63 for i in range(0,order+1): 64 ty=0.0 65 for k in range(0,len(xa)): 66 dy=1.0 67 for l in range(0,i): 68 dy=dy*xa[k] 69 ty+=ya[k]*dy 70 matB.append(ty) 71 72 matB=numpy.array(matB) 73 74 matAA=numpy.linalg.solve(matA,matB) 75 76 #画出拟合后的曲线 77 #print(matAA) 78 xxa= numpy.arange(-1,1.06,0.01) 79 yya=[] 80 for i in range(0,len(xxa)): 81 yy=0.0 82 for j in range(0,order+1): 83 dy=1.0 84 for k in range(0,j): 85 dy*=xxa[i] 86 dy*=matAA[j] 87 yy+=dy 88 yya.append(yy) 89 ax.plot(xxa,yya,color=‘g‘,linestyle=‘-‘,marker=‘‘) 90 91 ax.legend() 92 plt.show()
运行效果:
本文参考自http://blog.csdn.net/JairusChan
最小二乘法多项式曲线拟合原理与实现