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最小二乘法多项式曲线拟合原理与实现

概念

最小二乘法多项式曲线拟合,根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点,而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。

 

原理

[原理部分由个人根据互联网上的资料进行总结,希望对大家能有用]

 

 

     给定数据点pi(xi,yi),其中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y,i=1,2,...,m。 

常见的曲线拟合方法:

     1.使偏差绝对值之和最小

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     2.使偏差绝对值最大的最小

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     3.使偏差平方和最小

 

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     按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线,并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

推导过程:

     1. 设拟合多项式为:

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     2. 各点到这条曲线的距离之和,即偏差平方和如下:

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     3. 为了求得符合条件的a值,对等式右边求ai偏导数,因而我们得到了: 

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                         .......

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     4. 将等式左边进行一下化简,然后应该可以得到下面的等式:

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                     .......

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     5. 把这些等式表示成矩阵的形式,就可以得到下面的矩阵:

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     6. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:

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     7. 也就是说X*A=Y,那么A = (X‘*X)-1*X‘*Y,便得到了系数矩阵A,同时,我们也就得到了拟合曲线。

实现

 

运行前提:

  1. Python运行环境与编辑环境;
  2. Matplotlib.pyplot图形库,可用于快速绘制2D图表,与matlab中的plot命令类似,而且用法也基本相同。

代码:

 1     # coding=utf-8   2        3     ‘‘‘‘‘  4     程序:多项式曲线拟合算法  5     ‘‘‘   6     import matplotlib.pyplot as plt   7     import math   8     import numpy   9     import random  10       11     fig = plt.figure()  12     ax = fig.add_subplot(111)  13       14     #阶数为9阶  15     order=9  16       17     #生成曲线上的各个点  18     x = numpy.arange(-1,1,0.02)  19     y = [((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2) for a in x]  20     #ax.plot(x,y,color=‘r‘,linestyle=‘-‘,marker=‘‘)  21     #,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5"  22       23     #生成的曲线上的各个点偏移一下,并放入到xa,ya中去  24     i=0  25     xa=[]  26     ya=[]  27     for xx in x:  28         yy=y[i]  29         d=float(random.randint(60,140))/100  30         #ax.plot([xx*d],[yy*d],color=‘m‘,linestyle=‘‘,marker=‘.‘)  31         i+=1  32         xa.append(xx*d)  33         ya.append(yy*d)  34       35     ‘‘‘‘‘for i in range(0,5): 36         xx=float(random.randint(-100,100))/100 37         yy=float(random.randint(-60,60))/100 38         xa.append(xx) 39         ya.append(yy)‘‘‘  40       41     ax.plot(xa,ya,color=m,linestyle=‘‘,marker=.)  42       43       44     #进行曲线拟合  45     matA=[]  46     for i in range(0,order+1):  47         matA1=[]  48         for j in range(0,order+1):  49             tx=0.0  50             for k in range(0,len(xa)):  51                 dx=1.0  52                 for l in range(0,j+i):  53                     dx=dx*xa[k]  54                 tx+=dx  55             matA1.append(tx)  56         matA.append(matA1)  57       58     #print(len(xa))  59     #print(matA[0][0])  60     matA=numpy.array(matA)  61       62     matB=[]  63     for i in range(0,order+1):  64         ty=0.0  65         for k in range(0,len(xa)):  66             dy=1.0  67             for l in range(0,i):  68                 dy=dy*xa[k]  69             ty+=ya[k]*dy  70         matB.append(ty)  71        72     matB=numpy.array(matB)  73       74     matAA=numpy.linalg.solve(matA,matB)  75       76     #画出拟合后的曲线  77     #print(matAA)  78     xxa= numpy.arange(-1,1.06,0.01)  79     yya=[]  80     for i in range(0,len(xxa)):  81         yy=0.0  82         for j in range(0,order+1):  83             dy=1.0  84             for k in range(0,j):  85                 dy*=xxa[i]  86             dy*=matAA[j]  87             yy+=dy  88         yya.append(yy)  89     ax.plot(xxa,yya,color=g,linestyle=-,marker=‘‘)  90       91     ax.legend()  92     plt.show()

运行效果: 

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本文参考自http://blog.csdn.net/JairusChan

最小二乘法多项式曲线拟合原理与实现