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最小二乘即曲线拟合的详细公式推导

(1)前言

(2)最小二乘的推导

(3)最小二乘求解线性

(4)曲线拟合的应用

 

 

------------------qq:1327706646

-------------------------author:midu

--------------------------------datetime:2014-12-10 17:48:00

 

(1)前言

  关于最小二乘的应用,最早在高斯时代就被天才高斯用来求解,偏离轨道的行星,在别人还在用望远镜寻找的时候,高斯又是神奇般的轻而易举的算出了偏离轨道的行星准确位置。现在学习它,我是想在图像分类中和数据处理分类中会用到他做拟合、预测。

(2)最小二乘的推导

  最小二乘的线性回归方程系数即极值点坐标可以用两种方法来求解,结果都是一样的,在大数据处理中的最小二乘的两个系数用贝塔0和贝塔一表示,即方程的b和a,加入回归方程是y=a+bx 在数学推导中。这两种方法是一种相对复杂的配方法最小值代入求解,另一种是关于系数a、lamb的求导求解。这里不管哪种方法,前提都要有两个前提条件equation,推导出来。数据挖据中称之为残差,数学中为方差,如图figure1

这是其中的公式一:

Σ(xi-x)^2 = Σxi^2 -nx^2;

还有一个公式二:

Σ(xi-x)(yi-y) = Σxiyi - nxy;

然后带入得:

上面利用相关系数为0求得的结果。

下面还有求导同样可以得出推导结果的方法:

普通最小二乘法( Ordinary  Least Square,OLS):所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。(Q为残差平方和)- 即采用平方损失函数。

  样本回归模型:

                                     其中ei为样本(Xi, Yi)的误差

   平方损失函数:

                      

   则通过Q最小确定这条直线,即确定,以为变量,把它们看作是Q的函数,就变成了一个求极值的问题,可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数:

                       

    根据数学知识我们知道,函数的极值点为偏导为0的点。

    解得:

                   

 

这就是最小二乘法的求导解法,就是求得平方损失函数的极值点。

 

其实除了上面两种方法,还有一中方法可以解释最小二乘,那就是线性代数,如果线数比较差的话,建议推荐看看网易的公开课,里面有个很和蔼的麻省理工老师讲的一节课叫《矩阵投影和最小二乘》,解析的非常清楚,这里应用马云在今年上海浙商商会演讲的一句话“中国的教育,只做了教,育丢弃了”,从这位老师的讲学可以看得出,细心的人会。

 

(3)最小二乘求解线性

  

某产品广告支出x万元,与销售额y万元之间有如下数据x=2,4,5,6,8y=30,40,60,50,70(1)求回归直线方程(2)估计广告费为x万元时,销售y收入的值求完整计算谢
那么求解如下:
(回归方程的公式)

 

解:(1)设回归线性方程为:y=bx+a

x的平均值=(2+4+5+6+8)/5=5

y的平均值=(30+40+60+50+70)/5=50

∑xi^2=2^2+4^2+5^2+6^2+8^2=145

∑xiyi=2*30+4*40+5*60+6*50+8*70=1380

根据公式:b=(1380-5*5*50)/(145-5*5^2)=6.5

                 a=50-6.5*5=17.5

则回归线性直线方程为:y=6.5x+17.5

 

(4)曲线拟合的应用

  在线性回归中的应用:

http://baike.baidu.com/link?url=AHp30Rl0sWJZ9EhgknesZ595G0fLCR-KM20aRBLgf6kaqnF7MiixcRQrf7Uu8aKoRqkj8mE2nyZ9Y0wed_UXza

http://baike.baidu.com/view/139822.htm#ref_[1]_139822

 

 

参考文献:

http://zh.wikipedia.org/zh-cn/最小二乘法 在学术方面wiki做的相当的好,这里从各个方面讲到了二乘的来龙去脉,包括线数,至于百度百科,我只能呵呵。

http://www.baike.com/wiki/偏最小二乘法 

http://wenku.baidu.com/view/61a4260cba1aa8114431d974.html 回归直线方程的推导

http://www.cnblogs.com/iamccme/archive/2013/05/15/3080737.html 最小二乘的c++代码实现和求导

http://blog.sciencenet.cn/blog-430956-621997.html 最小二乘法,为啥差的不是绝对值

http://wenku.baidu.com/view/81ed83ea998fcc22bcd10dca.html?from=rec&pos=3&weight=2 最小二乘及其残差图

http://blog.csdn.net/viewcode/article/details/8794401 各种回归概念

http://zhidao.baidu.com/link?url=Pl0g2cvqNIuqn-z34JZ7t7Kl9tPMeudfFGy4-GSITWOj8FKhsk3d0M1wFDj_mj6umFcglxGaNlIlL_mPJkF5MK 线性求解

http://blog.csdn.net/wenrenhua08/article/details/2909255 最小三乘法

http://baike.so.com/doc/4551178.html 曲线拟合 matlab 实现 包括多阶

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