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POJ-1061 青蛙的约会-数论扩展欧几里德算法入门及推导
Description
两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input
1 2 3 4 5
Sample Output
4#include<stdio.h> #include<iostream> using namespace std; __int64 t,p; __int64 gcd(__int64 a,__int64 b) { if(b==0) return a; else return gcd(b,a%b); } void extend_gcd(__int64 a,__int64 b) { if(b==0) { t=1; p=0; } else { extend_gcd(b,a%b); __int64 temp=t; t=p; p=temp-a/b*p; } } int main() { __int64 x,y,n,m,l; __int64 a,b,c,a1,b1,c1,count; scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l); a=n-m; b=l; c=x-y; if(c%gcd(a,b)!=0||m==n) { printf("Impossible\n"); return 0; } count=gcd(a,b); a=a/count; b=b/count; c=c/count; extend_gcd(a,b); t*=c; p*=c; t=(t%b+b)%b; printf("%lld\n",t); return 0; }扩展欧几里德算法-求解不定方程,线性同余方程:
欧几里得模板:
解不定方程ax + by = n的步骤如下:
(1)计算gcd(a, b). 若gcd(a, b)不能整除n,则方程无整数解;否则,在方程的两边同除以gcd(a, b),
得到新的不定方程a‘x + b‘y = n‘,此时gcd(a‘, b‘) = 1
(2)求出不定方程a‘x + b‘y = 1的一组整数解x0, y0,则n‘x0,n‘y0是方程a‘x + b‘y = n‘的一组整数解。
(3)根据&@^%W#&定理,可得方程a‘x + b‘y = n‘的所有整数解为:
x = n‘x0 + b‘t
y = n‘y0 - a‘t
(t为整数)
这也就是方程ax + by = n的所有整数解
利用扩展的欧几里德算法,计算gcd(a, b)和满足d = gcd(a, b) = ax0 + by0的x0和y0,
也就是求出了满足a‘x0 + b‘y0 = 1的一组整数解。因此可得:
x = n/d * x0 + b/d * t
y = n/d * y0 - a/d * t
(t是整数)
*/__int64 gcd(__int64 a,__int64 b) { if(b==0) return a; else return gcd(b,a%b); }辗转相除,原理: 定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数,则有 d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r 因此d是(b,a mod b)的公约数 假设d 是(b,a mod b)的公约数,则 d | b , d |r ,但是a = kb +r 因此d也是(a,b)的公约数 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得 求(481,221)的最大公约数a=481,b=221; (221,39) (39,26) (26,13) (13,0)故最大公约数为13; void extend_gcd(__int64 a,__int64 b) { if(b==0) { t=1; p=0; } else { extend_gcd(b,a%b); __int64 temp=t; t=p; p=temp-a/b*p; } }欧几里得扩展推导:把这个实现和Gcd的递归实现相比,发现多了下面的x,y赋值过程,这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a‘ = b, b‘ = a % b 而言,我们求得 x, y使得 a‘x + b‘y = Gcd(a‘, b‘)
由于b‘ = a % b = a - a / b * b (注:这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:
a‘x + b‘y = Gcd(a‘, b‘) ===>
bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a‘, b‘) = Gcd(a, b) ===> ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言,他们的相对应的p,q分别是 y和(x-a/b*y)
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