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BZOJ1706: [usaco2007 Nov]relays 奶牛接力跑

1706: [usaco2007 Nov]relays 奶牛接力跑

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Description

FJ的N(2 <= N <= 1,000,000)头奶牛选择了接力跑作为她们的日常锻炼项目。至于进行接力跑的地点 自然是在牧场中现有的T(2 <= T <= 100)条跑道上。 农场上的跑道有一些交汇点,每条跑道都连结了两个不同的交汇点 I1_i和I2_i(1 <= I1_i <= 1,000; 1 <= I2_i <= 1,000)。每个交汇点都是至少两条跑道的端点。 奶牛们知道每条跑道的长度length_i(1 <= length_i <= 1,000),以及每条跑道连结的交汇点的编号 并且,没有哪两个交汇点由两条不同的跑道直接相连。你可以认为这些交汇点和跑道构成了一张图。 为了完成一场接力跑,所有N头奶牛在跑步开始之前都要站在某个交汇点上(有些交汇点上可能站着不只1头奶牛)。当然,她们的站位要保证她们能够将接力棒顺次传递,并且最后持棒的奶牛要停在预设的终点。 你的任务是,写一个程序,计算在接力跑的起点(S)和终点(E)确定的情况下,奶牛们跑步路径可能的最小总长度。显然,这条路径必须恰好经过N条跑道。

Input

* 第1行: 4个用空格隔开的整数:N,T,S,以及E

* 第2..T+1行: 第i+1为3个以空格隔开的整数:length_i,I1_i,以及I2_i, 描述了第i条跑道。

Output

* 第1行: 输出1个正整数,表示起点为S、终点为E,并且恰好经过N条跑道的路 径的最小长度

Sample Input

2 6 6 4
11 4 6
4 4 8
8 4 9
6 6 8
2 6 9
3 8 9

Sample Output

10

 

可恶的权限题,数据下载在此。

题意:

  给定一张M 条边的无向带权图,求从起点S到终点E恰好经过K条边的最短路径。2 ≤ M ≤ 100, 2 ≤ K ≤ 1000000。保证每个连边的点度至少为2。

做法:

  由于题目要求的是经过K条边的最短路径的长度(而不是路径数量),传统的矩阵乘法无法使用。究其本原,矩阵乘法是基于以下递推式:

\[ F_{i,j} = F_{i,k} \times F_{k,j} \]

  而题述则为:

\[ G_{i,j} = \min (G_{i,k} + G_{k,j})\]

  思考一下!矩阵乘法还能这样用!

  太棒了。

 1 #include <cstring> 2 #include <cstdio> 3 const int maxn = 100 + 3; 4 const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; 5 inline long long min(long long a, long long b) { 6     return a < b ? a : b; 7 } 8 namespace my_matrix { 9     typedef long long MType;10     typedef int IType;11     const MType size = maxn;12     struct Matrix {13         MType d[size][size];14         int row, col;15         inline Matrix() {16             memset(d, 0, sizeof d);17         }18         inline Matrix(int _row, int _col) {19             row = _row, col = _col;20             memset(d, 0, sizeof d);21         }22         inline void init() {23             for(int i = 0; i < row; ++i) {24                 d[i][i] = 1;25             }26         }27         inline void set_size(int _set_size) {28             row = col = _set_size;29         }30         inline void clear() {31             memset(d, 0, sizeof d);32         }33         inline void print() {34             for(int i = 0; i < row; ++i) {35                 for(int j = 0; j < col - 1; ++j) {36                     printf("%lld ", d[i][j]);37                 }38                 printf("%lld\n", d[i][col - 1]);39             }40         }41     };42     inline Matrix operator * (const Matrix &lhs, const Matrix &rhs) {43         Matrix ret;44         ret.set_size(lhs.row);45         for(int i = 0; i < ret.row; ++i)46             for(int j = 0; j < ret.col; ++j)47                 ret.d[i][j] = INF;48         for(int i = 0; i < lhs.row; ++i)49             for(int j = 0; j < rhs.col; ++j)50                 for(int k = 0; k < lhs.col; ++k) {51                     ret.d[i][j] = min(ret.d[i][j], lhs.d[i][k] + rhs.d[k][j]);52                 }53         return ret;54     }55     inline Matrix fast_pow(Matrix base, IType index) {56         Matrix ret;57         for(ret.set_size(base.row), memcpy(ret.d, base.d, sizeof base.d); index; index >>= 1, base = base * base)58         if(index & 1) ret = ret * base;59         return ret;60     }61 };62 using namespace my_matrix;63 64 int hash[1000 + 20], top;65 inline int id(int x) {66     if(hash[x] != -1) return hash[x];67     else return hash[x] = top++;68 }69 int T, S, E, N;70 long long g[103][103];71 72 int main() {73     freopen("relays.in", "r", stdin);74     freopen("relays.out", "w", stdout);75     memset(hash, -1, sizeof hash);76     scanf("%d%d%d%d", &N, &T, &S, &E);77     memset(g, INF, sizeof g);78     for(int i = 1; i <= T; ++i) {79         int l, f, t;80         scanf("%d%d%d", &l, &f, &t);81         g[id(f)][id(t)] = g[id(t)][id(f)] = l;82     }83     Matrix base;84     base.set_size(top);85     memcpy(base.d, g, sizeof g);86     base = fast_pow(base, N - 1);87     printf("%lld\n", base.d[id(S)][id(E)]);88 }
relays