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浅谈《最短路》问题(一)

最短路问题1.1
                          by MPS
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  1.1.1绪论
  临近NOIP复赛之前,特地来复习一下NOIP的图论知识章节的最主要的一个章节——最短路。
  最短路分为单源最短路和多源最短路,通常我们对求解单源最短路的算法有Dijkstra,SPFA,Bellman-Ford,而对多源最短路的求法有Floyd和Jhonson
  在1.1内,只介绍Dijkstra和Floyd,预知后事如何,请继续关注蒟蒻MPS的博客
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 1.1.2 单源最短路的求解算法——Dijkstra算法
  我们对于给定源点,且有且只有一个源点的图叫做单源图,而求解源点到终点的最短路径则叫做单源最短路。
  较为著名的算法就是Dijkstra算法
  Dijkstra算法的流程如下:(可以类比Prim方便理解)
  1.已知一个开放列表和一个关闭列表,开放表示已经处理过的点,关闭表示尚未处理的点,一开始,我们把源点放入开放列表,其余点放入关闭列表
  2.我们从开放列表里的第一个且未被执行的点开始,选择与其最近的点,将点从关闭列表放入开放列表,然后松弛这个点能到达的点到源点的距离
  3.重复2  n次
  很容易看出,重复的时间复杂度为O(n),选择最近的点为O(n),松弛为O(n),则实际上Dij的时间复杂度为O(n(n+n))
但不过我们可以近似看成O(n^2)
1.1.2.1 练习模板题——HDU 2544 《最短路》  
Problem Description
在每年的校赛里,所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候,却是非常累的!所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线,你可以帮助他们吗?
Input
输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M(N<=100,M<=10000),N表示成都的大街上有几个路口,标号为1的路口是商店所在地,标号为N的路口是赛场所在地,M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行,每行包括3个整数A,B,C(1<=A,B<=N,1<=C<=1000),表示在路口A与路口B之间有一条路,我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。
输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。
Output
对于每组输入,输出一行,表示工作人员从商店走到赛场的最短时间
Sample Input
2 1 1 2 3 3 3 1 2 5 2 3 5 3 1 2 0 0
Sample Output
3 2
很明显,设测试数据组数为T,则题目是要我们跑T遍dijkstra
所以很简单了= =
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

const int MaxN=101;
const int INF=0x7fffffff;

int n,m,dis[MaxN],map[MaxN][MaxN];
bool vis[MaxN];

void dijkstra(){
	dis[1]=0;
	int i,j,k,cost;
	for(i=2;i<=n;i++)dis[i]=INF;
	memset(vis,false,sizeof(vis));
	for(i=1;i<=n;i++){
		cost=INF;
		for(j=1;j<=n;j++)
		  if(vis[j]==false && cost>dis[j])
		    {cost=dis[j];k=j;}
		vis[k]=true;
		for(j=1;j<=n;j++)
		  if(vis[j]==false && dis[j]>dis[k]+map[k][j] && map[k][j]!=0)
		    dis[j]=dis[k]+map[k][j];
	}
}

int main(){
  scanf("%d %d",&n,&m);
  int i,j,u,v,cap;
  while(n!=0 && m!=0){
  	memset(map,0,sizeof(map));
  	for(i=1;i<=m;i++){
  		scanf("%d %d %d",&u,&v,&cap);
  		map[u][v]=map[v][u]=cap;
  	}
	dijkstra();
  	printf("%d\n",dis[n]);
  	scanf("%d %d",&n,&m);
  }
  return 0;
}
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 1.1.2.2 Dijkstra算法的反思
 dijkstra算法的时间复杂度O(n^2),那么,有没有可以优化的地方呢?显然是有的。就是在算法流程的第二步:
  选出最近点
  我们可以用小根堆优化,这样就把O(N^2)降低为了O((n+m)logn)
  比较偷懒的Oier(类如我)直接用优先队列也是个不错的选择
  代码略
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1.1.3 多源最短路的求解算法——Floyd_Warshall算法
对于稠密图的多源最短路(说白了就是点对点的最短路)的求解方法,我们一般使用floyd算法
floyd其实是一个动态规划的算法
我们这样划分阶段:以每一次松弛划分阶段
状态:f[i][j]表示i到j的最短路
动态转移方程:f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j])   (1<=i,j,k<=n)
那么具体代码就出来了,时间复杂度显然是O(N^3)
较于简单,读者自行理解→_→
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Thanks for watching!

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