证明：显然乘积空间$X \times Y$按范数$\left\| {\left( {x,y} \right)} \right\| = \sqrt {{{\left\| x \right\|}^2} + {{\left\| y \right\|}^2}} $成为赋范线性空间，且容易证明它是完备的.

接下来我们定义$T$的图像：\[G\left( T \right) = \left\{ {\left( {x,Tx} \right):x \in D\left( T \right)} \right\}\]由于$T$为线性算子，则$G\left( T \right)$为$X \times Y$的线性子空间，由$T$为闭算子知$G\left( T \right)$为闭集，所以$G\left( T \right)$本身按范数$\left\| {\left( {x,y} \right)} \right\|$成为$\bf{Banach}$空间.又$D\left( T \right)$作为$X$的线性子空间也是闭的，即$D\left( T \right)$本身也是$\bf{Banach}$空间.

我们作$G\left( T \right)$到$D\left( T \right)$的算子$P$如下：\[P:\left( {x,Tx} \right) \mapsto x,\forall x \in D\left( T \right)\]这显然是线性算子，且\[\left\| {P\left( {x,Tx} \right)} \right\| = \left\| x \right\| \le \left\| {\left( {x,Tx} \right)} \right\|\]所以$P$是有界的，又易知$P$是$G\left( T \right)$到$D\left( T \right)$上的双射，于是由$\bf逆算子定理$知，${{P^{ - 1}}}$是有界的，即\[\left\| {\left( {x,Tx} \right)} \right\| = \left\| {{P^{ - 1}}x} \right\| \le \left\| {{P^{ - 1}}} \right\|\left\| x \right\|\]从而可知\[\left\| {Tx} \right\| \le \left\| {\left( {x,Tx} \right)} \right\| \le \left\| {{P^{ - 1}}} \right\|\left\| x \right\|\]所以$T$是有界的，即是连续的

$\bf注1：$$\bf(引理)$$T$为闭算子的充要条件是$G\left( T \right)$为闭集

方法一

$\bf注2：$$\bf(定理)$定义域为闭集的连续算子是闭算子

方法一

$\bf注3：$$\bf(引理)$设$X,Y$是两个度量空间，$T$是$D\left( T \right) \subset X$到$Y$中的算子，则$T$为闭算子的充要条件是对任何点列$\left\{ {{x_n}} \right\} \subset D\left( T \right)$，当${x_n} \to {x_0},{y_n} = T{x_n} \to {y_0}$时，有${x_0} \in D\left( T \right)$，且$T{x_0} = {y_0}$

方法一

$\bf注4：$