证明：

$\bf注1：$$\bf(推广)$设$X$为线性空间，$p(x)$为$X$上的次线性泛函.若$f$为$X$的子空间$X_0$上的线性泛函，且\[\left| {f\left( x \right)} \right| \le p\left( x \right),\forall x \in {X_0}\]则存在$X$上的线性泛函${\tilde f}$，使得当$x \in {X_0}$时，有$\tilde f\left( x \right) = f\left( x \right)$，且\[\left| {\tilde f\left( x \right)} \right| \le p\left( x \right),\forall x \in X\]

方法一

$\bf注2：$$\bf(推论)$设$f$为赋范线性空间$X$的子空间$X_0$上的连续线性泛函，则存在$X$上的连续线性泛函${\tilde f}$，使得当$x \in {X_0}$时，有$\tilde f\left( x \right) = f\left( x \right)$，且${\left\| {\tilde f} \right\|_X} = {\left\| f \right\|_{{X_0}}}$

方法一