证明：反证法，假设$X$是完备的度量空间，且是第一纲的，下面我们推出矛盾

   由于$X$是第一纲的，则$X$可表示为可数个疏朗集的并，不妨设$X = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {{M_n}} $，其中${M_n}$均为疏朗集

任取一个闭球$B(a,1)$，由${M_1}$是疏朗集知，存在$X$中的非空闭球$B\left( {{a_1},{r_1}} \right) \subset B\left( {a,1} \right)$，使得\[B\left( {{a_1},{r_1}} \right) \cap {M_1} = \emptyset \]其中不妨设$0<{r_1}<1$，又由${M_2}$是疏朗集知，存在$X$中的非空闭球$B\left( {{a_2},{r_2}} \right) \subset B\left( {{a_1},{r_1}} \right) $，使得\[B\left( {{a_2},{r_2}} \right) \cap {M_2} = \emptyset \]其中不妨设$0 < {r_2} < \frac{1}{2}$，如此可以选得一套非空闭球\[B\left( {{a_1},{r_1}} \right) \supset B\left( {{a_2},{r_2}} \right) \supset  \cdots  \supset B\left( {{a_n},{r_n}} \right) \supset  \cdots \]使得$B\left( {{a_n},{r_n}} \right) \cap {M_n} = \emptyset $，且$0 < {r_n} < \frac{1}{n}$

   于是由闭球套定理知，存在唯一的$x \in \bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {B\left( {{a_n},{r_n}} \right)} $，又$B\left( {{a_n},{r_n}} \right) \cap {M_n} = \emptyset $，所以有$x \notin \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {{M_n}} $，而$X = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {{M_n}} $，出现矛盾