5. 不用 Weierstrass 定理, 直接证明 Hermite 矩阵的函数运算 (3.6) 与特定的谱分解无关.

证明: 设 $H$ 也有谱分解 $$\bex H=V\diag(\lm_1,\cdots,\lm_n)V^*, \eex$$ 则 $$\bex W\diag(\lm_1,\cdots,\lm_n)=\diag(\lm_1,\cdots,\lm_n)W,\quad W=V^*U. \eex$$ 因此, $$\bex W=\diag(W_1,\cdots,W_s), \eex$$ 其中 $W_i$ 所对应的各 $\lm_j$ 相同. 这样, $$\bex W\diag(f(\lm_1),\cdots,f(\lm_n)) =\diag(f(\lm_1),\cdots,f(\lm_n))W, \eex$$ $$\bex U\diag(f(\lm_1),\cdots,f(\lm_n))U^* =V\diag(f(\lm_1),\cdots,f(\lm_n))V^*. \eex$$

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.5