3. 设 $\lm$ 是一个复数. 证明: 存在非负方阵 $A$ 使得 $\lm$ 是 $A$ 的一个特征值.

证明:

(1). 首先 $A$ 的阶数须 $\geq 3$. 当 $n=1$ 时, 非负方阵的特征值为非负实数. 当 $n=2$ 时, 由 $$\beex \bea |\lm I-A|&=\lm^2 -(a_{11}+a_{22})\lm +a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\\ &=\sez{\lm-\frac{a_{11}+a_{22}}{2}}^2 +a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12} -\frac{ (a_{11}+a_{22})^2 }{4} \eea \eeex$$ 知非负方阵的特征值要么为实数, 要么为实部为非负实数的虚数.

(2). 仅须考虑 $n=3$ 的情形. 若此时, 已有非负矩阵 $A$ 以 $z$ 为特征值, 则当 $n\geq 3$ 时, $$\bex \sex{\ba{cc} A&0\\ 0&O \ea}_{n,n} \eex$$ 就是一个以 $z$ 为特征值的 $n$ 阶非负方阵.

(3). 当 $n=3$ 时, 由于实矩阵的虚特征值是成对出现, 仅须考虑 $$\bex z=a+bi\quad (b\geq 0) \eex$$ 的情形. 当 $a\geq 0$ 时, 把 $z$ 写成 $$\beex \bea z&=a+bi\\ &=\tilde a+\tilde bw\quad\sex{w=e^{i\frac{2\pi}{3}},\quad \tilde a=a+\frac{b}{\sqrt{3}}\geq 0, \tilde b=\frac{2b}{\sqrt{3}}\geq 0} \eea \eeex$$ 而是 $$\bee\label{6_3_eq} \tilde a I_3+\tilde b\cdot \Circ(0,1,0) \eee$$ 的特征值 (参考本书第 3-4 页). 当 $a<0$ 时, 若 $\tilde a\geq 0$, 则仍用 \eqref{6_3_eq}. 但若 $\tilde a<0$, 则 $z$ 是 $$\bex \sex{\ba{ccc} 0&-\tilde a&-\tilde a\\ -\tilde a&0&-\tilde a\\ -\tilde a&-\tilde a&0 \ea}+\tilde b\cdot\Circ(0,1,0) \eex$$ 的特征值.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.3